Theorem fmptap 5610

Description: Append an additional value to a function. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptap.0a	|- A e. _V
fmptap.0b	|- B e. _V
fmptap.1	|- ( R u. { A } ) = S
fmptap.2	|- ( x = A -> C = B )

Assertion

Ref	Expression
fmptap	|- ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, R   x, S

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem fmptap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptap.0a	. . . . 5 |- A e. _V
2		fmptap.0b	. . . . 5 |- B e. _V
3		fmptsn 5609	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B ) )
4	1, 2, 3	mp2an 422	. . . 4 |- { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B )
5		elsni 3545	. . . . . 6 |- ( x e. { A } -> x = A )
6		fmptap.2	. . . . . 6 |- ( x = A -> C = B )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. { A } -> C = B )
8	7	mpteq2ia 4014	. . . 4 |- ( x e. { A } |-> C ) = ( x e. { A } |-> B )
9	4, 8	eqtr4i 2163	. . 3 |- { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> C )
10	9	uneq2i 3227	. 2 |- ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) )
11		mptun 5254	. 2 |- ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) )
12		fmptap.1	. . 3 |- ( R u. { A } ) = S
13		mpteq1 4012	. . 3 |- ( ( R u. { A } ) = S -> ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( x e. S |-> C ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 |- ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( x e. S |-> C )
15	10, 11, 14	3eqtr2i 2166	1 |- ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   u. cun 3069   {csn 3527   <.cop 3530   |-> cmpt 3989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130

This theorem is referenced by: (None)