ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmptapd Unicode version

Theorem fmptapd 5382
Description: Append an additional value to a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptapd.0a  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
fmptapd.0b  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
fmptapd.1  |-  ( ph  ->  ( R  u.  { A } )  =  S )
fmptapd.2  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  C  =  B )
Assertion
Ref Expression
fmptapd  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  R  |->  C )  u. 
{ <. A ,  B >. } )  =  ( x  e.  S  |->  C ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, R    x, S    ph, x
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem fmptapd
StepHypRef Expression
1 fmptapd.0a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
2 fmptapd.0b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
3 fmptsn 5380 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { <. A ,  B >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  B ) )
41, 2, 3syl2anc 397 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. A ,  B >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  B ) )
5 elsni 3421 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
6 fmptapd.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  C  =  B )
75, 6sylan2 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  C  =  B )
87mpteq2dva 3875 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  { A }  |->  C )  =  ( x  e. 
{ A }  |->  B ) )
94, 8eqtr4d 2091 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. A ,  B >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  C ) )
109uneq2d 3125 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  R  |->  C )  u. 
{ <. A ,  B >. } )  =  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  (
x  e.  { A }  |->  C ) ) )
11 mptun 5057 . . 3  |-  ( x  e.  ( R  u.  { A } )  |->  C )  =  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  ( x  e.  { A }  |->  C ) )
1211a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( R  u.  { A } )  |->  C )  =  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  ( x  e. 
{ A }  |->  C ) ) )
13 fmptapd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  u.  { A } )  =  S )
1413mpteq1d 3870 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( R  u.  { A } )  |->  C )  =  ( x  e.  S  |->  C ) )
1510, 12, 143eqtr2d 2094 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  R  |->  C )  u. 
{ <. A ,  B >. } )  =  ( x  e.  S  |->  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    = wceq 1259    e. wcel 1409   _Vcvv 2574    u. cun 2943   {csn 3403   <.cop 3406    |-> cmpt 3846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937
This theorem is referenced by:  fmptpr  5383
  Copyright terms: Public domain W3C validator