ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmptd Unicode version

Theorem fmptd 5542
Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  C )
fmptd.2  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
Assertion
Ref Expression
fmptd  |-  ( ph  ->  F : A --> C )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    F( x)

Proof of Theorem fmptd
StepHypRef Expression
1 fmptd.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  C )
21ralrimiva 2482 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  C )
3 fmptd.2 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
43fmpt 5538 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  <->  F : A --> C )
52, 4sylib 121 1  |-  ( ph  ->  F : A --> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393    |-> cmpt 3959   -->wf 5089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101
This theorem is referenced by:  fmpttd  5543  fmptco  5554  fliftrel  5661  off  5962  caofinvl  5972  fdiagfn  6554  mapxpen  6710  xpmapenlem  6711  updjudhf  6932  enumctlemm  6967  fodjuf  6985  nnnninf  6991  caucvgsrlemf  7568  caucvgsrlemofff  7573  axcaucvglemf  7672  monoord2  10218  iseqf1olemqf  10232  cvg1nlemf  10723  resqrexlemsqa  10764  climcvg1nlem  11086  summodclem2a  11118  crth  11827  ctiunctlemf  11878  txcnmpt  12369  txlm  12375  mulc1cncf  12672  addccncf  12682  negcncf  12684  nnsf  13126  nninfself  13136
  Copyright terms: Public domain W3C validator