ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmptpr Unicode version

Theorem fmptpr 5409
Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptpr.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
fmptpr.2  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
fmptpr.3  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
fmptpr.4  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
fmptpr.5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  E  =  C )
fmptpr.6  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  E  =  D )
Assertion
Ref Expression
fmptpr  |-  ( ph  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( x  e.  { A ,  B }  |->  E ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, D    ph, x
Allowed substitution hints:    E( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)

Proof of Theorem fmptpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3424 . . 3  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
21a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( {
<. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } ) )
3 mpt0 5078 . . . . . 6  |-  ( x  e.  (/)  |->  E )  =  (/)
43uneq1i 3133 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  (/)  |->  E )  u.  { <. A ,  C >. } )  =  ( (/)  u.  { <. A ,  C >. } )
5 uncom 3127 . . . . 5  |-  ( (/)  u. 
{ <. A ,  C >. } )  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  (/) )
6 un0 3295 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  C >. }  u.  (/) )  =  { <. A ,  C >. }
74, 5, 63eqtri 2107 . . . 4  |-  ( ( x  e.  (/)  |->  E )  u.  { <. A ,  C >. } )  =  { <. A ,  C >. }
8 fmptpr.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 elex 2620 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
108, 9syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
11 fmptpr.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
12 elex 2620 . . . . . 6  |-  ( C  e.  X  ->  C  e.  _V )
1311, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
14 uncom 3127 . . . . . . 7  |-  ( { A }  u.  (/) )  =  ( (/)  u.  { A } )
15 un0 3295 . . . . . . 7  |-  ( { A }  u.  (/) )  =  { A }
1614, 15eqtr3i 2105 . . . . . 6  |-  ( (/)  u. 
{ A } )  =  { A }
1716a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (/)  u.  { A } )  =  { A } )
18 fmptpr.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  E  =  C )
1910, 13, 17, 18fmptapd 5408 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  (/)  |->  E )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  =  ( x  e.  { A }  |->  E ) )
207, 19syl5eqr 2129 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. A ,  C >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  E ) )
2120uneq1d 3136 . 2  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ( x  e.  { A }  |->  E )  u. 
{ <. B ,  D >. } ) )
22 fmptpr.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
23 elex 2620 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  B  e.  _V )
2422, 23syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
25 fmptpr.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
26 elex 2620 . . . 4  |-  ( D  e.  Y  ->  D  e.  _V )
2725, 26syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
28 df-pr 3424 . . . . 5  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
2928eqcomi 2087 . . . 4  |-  ( { A }  u.  { B } )  =  { A ,  B }
3029a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { A }  u.  { B } )  =  { A ,  B } )
31 fmptpr.6 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  E  =  D )
3224, 27, 30, 31fmptapd 5408 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ A }  |->  E )  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( x  e. 
{ A ,  B }  |->  E ) )
332, 21, 323eqtrd 2119 1  |-  ( ph  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( x  e.  { A ,  B }  |->  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   _Vcvv 2611    u. cun 2981   (/)c0 3268   {csn 3417   {cpr 3418   <.cop 3420    |-> cmpt 3860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-v 2613  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator