Theorem fnn0ind 9160

Description: Induction on the integers from 0 to N inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnn0ind.1	|- ( x = 0 -> ( ph <-> ps ) )
fnn0ind.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
fnn0ind.3	|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
fnn0ind.4	|- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
fnn0ind.5	|- ( N e. NN0 -> ps )
fnn0ind.6	|- ( ( N e. NN0 /\ y e. NN0 /\ y < N ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
fnn0ind	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, K   x, N, y   ch, x   ph, y   ps, x   ta, x   th, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   K( y)

Proof of Theorem fnn0ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0z 9060	. . . 4 |- ( K e. NN0 <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) )
2		nn0z 9067	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
3		0z 9058	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
4		fnn0ind.1	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ph <-> ps ) )
5		fnn0ind.2	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
6		fnn0ind.3	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
7		fnn0ind.4	. . . . . . . . 9 |- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
8		elnn0z 9060	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
9		fnn0ind.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ps )
10	8, 9	sylbir 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ps )
11	10	3adant1 999	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ps )
12		zre 9051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
13		zre 9051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
14		0re 7759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
15		lelttr 7845	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 < N ) )
16		ltle 7844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
17	16	3adant2 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
18	15, 17	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) )
19	14, 18	mp3an1 1302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) )
20	12, 13, 19	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) )
21	20	ex 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) ) )
22	21	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ZZ -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> 0 <_ N ) ) )
23	22	3impib 1179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> 0 <_ N ) )
24	23	impcom 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> 0 <_ N )
25		elnn0z 9060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. NN0 <-> ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) )
26	25	anbi1i 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN0 /\ y < N ) <-> ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) )
27		fnn0ind.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN0 /\ y e. NN0 /\ y < N ) -> ( ch -> th ) )
28	27	3expb 1182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ ( y e. NN0 /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
29	8, 26, 28	syl2anbr 290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) /\ ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
30	29	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) -> ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
31	30	3impa 1176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
32	31	expd 256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> ( 0 <_ N -> ( ch -> th ) ) ) )
33	32	impcom 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( 0 <_ N -> ( ch -> th ) ) )
34	24, 33	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
35	34	adantll 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
36	4, 5, 6, 7, 11, 35	fzind 9159	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )
37	3, 36	mpanl1 430	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )
38	37	expcom 115	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) -> ( N e. ZZ -> ta ) )
39	2, 38	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) )
40	39	3expa 1181	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) )
41	1, 40	sylanb 282	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) )
42	41	impcom 124	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> ta )
43	42	3impb 1177	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612   0cc0 7613   1c1 7614   + caddc 7616   < clt 7793   <_ cle 7794   NN0cn0 8970   ZZcz 9047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048

This theorem is referenced by:  nn0seqcvgd  11711