Theorem fnoa 6343

Description: Functionality and domain of ordinal addition. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnoa	|- +o Fn ( On X. On )

Proof of Theorem fnoa

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oadd 6317	. 2 |- +o = ( x e. On , y e. On |-> ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) )
2		vex 2689	. . 3 |- y e. _V
3		vex 2689	. . . 4 |- x e. _V
4		oafnex 6340	. . . 4 |- ( z e. _V |-> suc z ) Fn _V
5	3, 4	rdgexg 6286	. . 3 |- ( y e. _V -> ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V )
6	2, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V
7	1, 6	fnmpoi 6102	1 |- +o Fn ( On X. On )

Syntax hints:   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   |-> cmpt 3989   Oncon0 4285   suc csuc 4287   X. cxp 4537   Fn wfn 5118   ` cfv 5123   reccrdg 6266   +o coa 6310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317

This theorem is referenced by:  dmaddpi  7133