ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnom Unicode version

Theorem fnom 6116
Description: Functionality and domain of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
fnom  |-  .o  Fn  ( On  X.  On )

Proof of Theorem fnom
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-omul 6092 . 2  |-  .o  =  ( x  e.  On ,  y  e.  On  |->  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  +o  x ) ) ,  (/) ) `  y
) )
2 vex 2614 . . 3  |-  y  e. 
_V
3 0ex 3926 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
4 vex 2614 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
5 omfnex 6115 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  (
z  e.  _V  |->  ( z  +o  x ) )  Fn  _V )
64, 5ax-mp 7 . . . 4  |-  ( z  e.  _V  |->  ( z  +o  x ) )  Fn  _V
73, 6rdgexg 6060 . . 3  |-  ( y  e.  _V  ->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  +o  x ) ) ,  (/) ) `  y )  e.  _V )
82, 7ax-mp 7 . 2  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  +o  x ) ) ,  (/) ) `  y )  e.  _V
91, 8fnmpt2i 5883 1  |-  .o  Fn  ( On  X.  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1434   _Vcvv 2611   (/)c0 3268    |-> cmpt 3860   Oncon0 4147    X. cxp 4390    Fn wfn 4948   ` cfv 4953  (class class class)co 5565   reccrdg 6040    +o coa 6084    .o comu 6085
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-iord 4150  df-on 4152  df-suc 4155  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-recs 5976  df-irdg 6041  df-oadd 6091  df-omul 6092
This theorem is referenced by:  dmmulpi  6655
  Copyright terms: Public domain W3C validator