ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnoprabg Unicode version

Theorem fnoprabg 5633
Description: Functionality and domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
fnoprabg  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ph  /\  ps ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ph } )
Distinct variable groups:    x, y, z    ph, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, z)

Proof of Theorem fnoprabg
StepHypRef Expression
1 eumo 1974 . . . . . 6  |-  ( E! z ps  ->  E* z ps )
21imim2i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  ( ph  ->  E* z ps )
)
3 moanimv 2017 . . . . 5  |-  ( E* z ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  ->  E* z ps ) )
42, 3sylibr 132 . . . 4  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  E* z
( ph  /\  ps )
)
542alimi 1386 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  A. x A. y E* z ( ph  /\  ps ) )
6 funoprabg 5631 . . 3  |-  ( A. x A. y E* z
( ph  /\  ps )  ->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( ph  /\ 
ps ) } )
75, 6syl 14 . 2  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( ph  /\ 
ps ) } )
8 dmoprab 5616 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ph  /\  ps ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z ( ph  /\ 
ps ) }
9 nfa1 1475 . . . 4  |-  F/ x A. x A. y (
ph  ->  E! z ps )
10 nfa2 1512 . . . 4  |-  F/ y A. x A. y
( ph  ->  E! z ps )
11 simpl 107 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ph )
1211exlimiv 1530 . . . . . . 7  |-  ( E. z ( ph  /\  ps )  ->  ph )
13 euex 1972 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! z ps  ->  E. z ps )
1413imim2i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  ( ph  ->  E. z ps )
)
1514ancld 318 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  ( ph  ->  ( ph  /\  E. z ps ) ) )
16 19.42v 1828 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  /\  E. z ps ) )
1715, 16syl6ibr 160 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  ( ph  ->  E. z ( ph  /\ 
ps ) ) )
1812, 17impbid2 141 . . . . . 6  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  ( E. z ( ph  /\  ps )  <->  ph ) )
1918sps 1471 . . . . 5  |-  ( A. y ( ph  ->  E! z ps )  -> 
( E. z (
ph  /\  ps )  <->  ph ) )
2019sps 1471 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  ( E. z (
ph  /\  ps )  <->  ph ) )
219, 10, 20opabbid 3851 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  { <. x ,  y
>.  |  E. z
( ph  /\  ps ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ph } )
228, 21syl5eq 2126 . 2  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( ph  /\ 
ps ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ph } )
23 df-fn 4935 . 2  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ph  /\  ps ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ph } 
<->  ( Fun  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  (
ph  /\  ps ) }  /\  dom  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  (
ph  /\  ps ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
247, 22, 23sylanbrc 408 1  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ph  /\  ps ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ph } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1283    = wceq 1285   E.wex 1422   E!weu 1942   E*wmo 1943   {copab 3846   dom cdm 4371   Fun wfun 4926    Fn wfn 4927   {coprab 5544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-fun 4934  df-fn 4935  df-oprab 5547
This theorem is referenced by:  fnoprab  5635  ovg  5670
  Copyright terms: Public domain W3C validator