Theorem fnoprabg 5865

Description: Functionality and domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fnoprabg	|- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } Fn { <. x , y >. | ph } )

Distinct variable groups:   x, y, z   ph, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y, z)

Proof of Theorem fnoprabg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eumo 2029	. . . . . 6 |- ( E! z ps -> E* z ps )
2	1	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> E* z ps ) )
3		moanimv 2072	. . . . 5 |- ( E* z ( ph /\ ps ) <-> ( ph -> E* z ps ) )
4	2, 3	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> E* z ( ph /\ ps ) )
5	4	2alimi 1432	. . 3 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> A. x A. y E* z ( ph /\ ps ) )
6		funoprabg 5863	. . 3 |- ( A. x A. y E* z ( ph /\ ps ) -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } )
8		dmoprab 5845	. . 3 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | E. z ( ph /\ ps ) }
9		nfa1 1521	. . . 4 |- F/ x A. x A. y ( ph -> E! z ps )
10		nfa2 1558	. . . 4 |- F/ y A. x A. y ( ph -> E! z ps )
11		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ph )
12	11	exlimiv 1577	. . . . . . 7 |- ( E. z ( ph /\ ps ) -> ph )
13		euex 2027	. . . . . . . . . 10 |- ( E! z ps -> E. z ps )
14	13	imim2i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> E. z ps ) )
15	14	ancld 323	. . . . . . . 8 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> ( ph /\ E. z ps ) ) )
16		19.42v 1878	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ( ph /\ E. z ps ) )
17	15, 16	syl6ibr 161	. . . . . . 7 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> E. z ( ph /\ ps ) ) )
18	12, 17	impbid2 142	. . . . . 6 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ph ) )
19	18	sps 1517	. . . . 5 |- ( A. y ( ph -> E! z ps ) -> ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ph ) )
20	19	sps 1517	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ph ) )
21	9, 10, 20	opabbid 3988	. . 3 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> { <. x , y >. | E. z ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | ph } )
22	8, 21	syl5eq 2182	. 2 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | ph } )
23		df-fn 5121	. 2 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } Fn { <. x , y >. | ph } <-> ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } /\ dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | ph } ) )
24	7, 22, 23	sylanbrc 413	1 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } Fn { <. x , y >. | ph } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   E.wex 1468   E!weu 1997   E*wmo 1998   {copab 3983   dom cdm 4534   Fun wfun 5112   Fn wfn 5113   {coprab 5768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-fun 5120  df-fn 5121  df-oprab 5771

This theorem is referenced by:  fnoprab  5867  ovg  5902