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Theorem fnres 5209
Description: An equivalence for functionality of a restriction. Compare dffun8 5121. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnres  |-  ( ( F  |`  A )  Fn  A  <->  A. x  e.  A  E! y  x F
y )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, F, y

Proof of Theorem fnres
StepHypRef Expression
1 ancom 264 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  E* y  x F
y  /\  A. x  e.  A  E. y  x F y )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  x F y  /\  A. x  e.  A  E* y  x F y ) )
2 vex 2663 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
32brres 4795 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( F  |`  A ) y  <->  ( x F y  /\  x  e.  A ) )
4 ancom 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x F y  /\  x  e.  A )  <->  ( x  e.  A  /\  x F y ) )
53, 4bitri 183 . . . . . . . 8  |-  ( x ( F  |`  A ) y  <->  ( x  e.  A  /\  x F y ) )
65mobii 2014 . . . . . . 7  |-  ( E* y  x ( F  |`  A ) y  <->  E* y
( x  e.  A  /\  x F y ) )
7 moanimv 2052 . . . . . . 7  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  x F y )  <->  ( x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
86, 7bitri 183 . . . . . 6  |-  ( E* y  x ( F  |`  A ) y  <->  ( x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
98albii 1431 . . . . 5  |-  ( A. x E* y  x ( F  |`  A )
y  <->  A. x ( x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
10 relres 4817 . . . . . 6  |-  Rel  ( F  |`  A )
11 dffun6 5107 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( F  |`  A )  <-> 
( Rel  ( F  |`  A )  /\  A. x E* y  x ( F  |`  A )
y ) )
1210, 11mpbiran 909 . . . . 5  |-  ( Fun  ( F  |`  A )  <->  A. x E* y  x ( F  |`  A ) y )
13 df-ral 2398 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E* y  x F y  <->  A. x
( x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
149, 12, 133bitr4i 211 . . . 4  |-  ( Fun  ( F  |`  A )  <->  A. x  e.  A  E* y  x F
y )
15 dmres 4810 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom  F )
16 inss1 3266 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  dom  F )  C_  A
1715, 16eqsstri 3099 . . . . . 6  |-  dom  ( F  |`  A )  C_  A
18 eqss 3082 . . . . . 6  |-  ( dom  ( F  |`  A )  =  A  <->  ( dom  ( F  |`  A ) 
C_  A  /\  A  C_ 
dom  ( F  |`  A ) ) )
1917, 18mpbiran 909 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  |`  A )  =  A  <->  A  C_  dom  ( F  |`  A ) )
20 dfss3 3057 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  dom  ( F  |`  A )  <->  A. x  e.  A  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )
2115elin2 3234 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom  ( F  |`  A )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  dom  F ) )
2221baib 889 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  A )  <->  x  e.  dom  F ) )
23 vex 2663 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
2423eldm 4706 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  F  <->  E. y  x F y )
2522, 24syl6bb 195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  A )  <->  E. y  x F y ) )
2625ralbiia 2426 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  dom  ( F  |`  A )  <->  A. x  e.  A  E. y  x F y )
2720, 26bitri 183 . . . . 5  |-  ( A 
C_  dom  ( F  |`  A )  <->  A. x  e.  A  E. y  x F y )
2819, 27bitri 183 . . . 4  |-  ( dom  ( F  |`  A )  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  x F y )
2914, 28anbi12i 455 . . 3  |-  ( ( Fun  ( F  |`  A )  /\  dom  ( F  |`  A )  =  A )  <->  ( A. x  e.  A  E* y  x F y  /\  A. x  e.  A  E. y  x F y ) )
30 r19.26 2535 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( E. y  x F
y  /\  E* y  x F y )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  x F y  /\  A. x  e.  A  E* y  x F y ) )
311, 29, 303bitr4i 211 . 2  |-  ( ( Fun  ( F  |`  A )  /\  dom  ( F  |`  A )  =  A )  <->  A. x  e.  A  ( E. y  x F y  /\  E* y  x F
y ) )
32 df-fn 5096 . 2  |-  ( ( F  |`  A )  Fn  A  <->  ( Fun  ( F  |`  A )  /\  dom  ( F  |`  A )  =  A ) )
33 eu5 2024 . . 3  |-  ( E! y  x F y  <-> 
( E. y  x F y  /\  E* y  x F y ) )
3433ralbii 2418 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  <->  A. x  e.  A  ( E. y  x F y  /\  E* y  x F
y ) )
3531, 32, 343bitr4i 211 1  |-  ( ( F  |`  A )  Fn  A  <->  A. x  e.  A  E! y  x F
y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1314    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   E!weu 1977   E*wmo 1978   A.wral 2393    i^i cin 3040    C_ wss 3041   class class class wbr 3899   dom cdm 4509    |` cres 4511   Rel wrel 4514   Fun wfun 5087    Fn wfn 5088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-res 4521  df-fun 5095  df-fn 5096
This theorem is referenced by:  f1ompt  5539
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