ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fntpg Unicode version

Theorem fntpg 4983
Description: Function with a domain of three different values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fntpg  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }
)

Proof of Theorem fntpg
StepHypRef Expression
1 funtpg 4978 . 2  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  Fun  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. } )
2 dmsnopg 4820 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  F  ->  dom  {
<. X ,  A >. }  =  { X }
)
323ad2ant1 936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  dom  { <. X ,  A >. }  =  { X } )
4 dmsnopg 4820 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  G  ->  dom  {
<. Y ,  B >. }  =  { Y }
)
543ad2ant2 937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  dom  { <. Y ,  B >. }  =  { Y } )
63, 5jca 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  ( dom  { <. X ,  A >. }  =  { X }  /\  dom  {
<. Y ,  B >. }  =  { Y }
) )
763ad2ant2 937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. }  =  { X }  /\  dom  { <. Y ,  B >. }  =  { Y }
) )
8 uneq12 3120 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  { <. X ,  A >. }  =  { X }  /\  dom  { <. Y ,  B >. }  =  { Y }
)  ->  ( dom  {
<. X ,  A >. }  u.  dom  { <. Y ,  B >. } )  =  ( { X }  u.  { Y } ) )
97, 8syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. }  u.  dom  {
<. Y ,  B >. } )  =  ( { X }  u.  { Y } ) )
10 df-pr 3410 . . . . . 6  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
119, 10syl6eqr 2106 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. }  u.  dom  {
<. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y } )
12 df-pr 3410 . . . . . . . 8  |-  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  ( { <. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )
1312dmeqi 4564 . . . . . . 7  |-  dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. }  =  dom  ( {
<. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )
1413eqeq1i 2063 . . . . . 6  |-  ( dom 
{ <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  { X ,  Y }  <->  dom  ( {
<. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y } )
15 dmun 4570 . . . . . . 7  |-  dom  ( { <. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )  =  ( dom  { <. X ,  A >. }  u.  dom  { <. Y ,  B >. } )
1615eqeq1i 2063 . . . . . 6  |-  ( dom  ( { <. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y }  <->  ( dom  {
<. X ,  A >. }  u.  dom  { <. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y } )
1714, 16bitri 177 . . . . 5  |-  ( dom 
{ <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  { X ,  Y }  <->  ( dom  {
<. X ,  A >. }  u.  dom  { <. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y } )
1811, 17sylibr 141 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  { X ,  Y } )
19 dmsnopg 4820 . . . . . 6  |-  ( C  e.  H  ->  dom  {
<. Z ,  C >. }  =  { Z }
)
20193ad2ant3 938 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  dom  { <. Z ,  C >. }  =  { Z } )
21203ad2ant2 937 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  dom  { <. Z ,  C >. }  =  { Z } )
2218, 21uneq12d 3126 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  dom  {
<. Z ,  C >. } )  =  ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) )
23 df-tp 3411 . . . . 5  |-  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  =  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } )
2423dmeqi 4564 . . . 4  |-  dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. }  =  dom  ( {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } )
25 dmun 4570 . . . 4  |-  dom  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } )  =  ( dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. }  u.  dom  { <. Z ,  C >. } )
2624, 25eqtri 2076 . . 3  |-  dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. }  =  ( dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. }  u.  dom  { <. Z ,  C >. } )
27 df-tp 3411 . . 3  |-  { X ,  Y ,  Z }  =  ( { X ,  Y }  u.  { Z } )
2822, 26, 273eqtr4g 2113 . 2  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  =  { X ,  Y ,  Z }
)
29 df-fn 4933 . 2  |-  ( {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }  <->  ( Fun  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  /\  dom  {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. }  =  { X ,  Y ,  Z }
) )
301, 28, 29sylanbrc 402 1  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409    =/= wne 2220    u. cun 2943   {csn 3403   {cpr 3404   {ctp 3405   <.cop 3406   dom cdm 4373   Fun wfun 4924    Fn wfn 4925
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-tp 3411  df-op 3412  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-fun 4932  df-fn 4933
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator