ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  focdmex Unicode version

Theorem focdmex 9888
Description: The codomain of an onto function is a set if its domain is a set. (Contributed by AV, 4-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
focdmex  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  _V )

Proof of Theorem focdmex
StepHypRef Expression
1 fof 5159 . . . . 5  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F : A --> B )
21anim2i 334 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  ( A  e.  V  /\  F : A
--> B ) )
32ancomd 263 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  ( F : A
--> B  /\  A  e.  V ) )
4 fex 5442 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  _V )
5 rnexg 4646 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  ran  F  e.  _V )
63, 4, 53syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  ran  F  e.  _V )
7 forn 5162 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
87eleq1d 2151 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( ran  F  e.  _V 
<->  B  e.  _V )
)
98adantl 271 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  ( ran  F  e.  _V  <->  B  e.  _V ) )
106, 9mpbid 145 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1434   _Vcvv 2611   ran crn 4393   -->wf 4949   -onto->wfo 4951
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator