ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  focdmex Unicode version

Theorem focdmex 10501
Description: The codomain of an onto function is a set if its domain is a set. (Contributed by AV, 4-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
focdmex  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  _V )

Proof of Theorem focdmex
StepHypRef Expression
1 fof 5315 . . . . 5  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F : A --> B )
21anim2i 339 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  ( A  e.  V  /\  F : A
--> B ) )
32ancomd 265 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  ( F : A
--> B  /\  A  e.  V ) )
4 fex 5615 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  _V )
5 rnexg 4774 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  ran  F  e.  _V )
63, 4, 53syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  ran  F  e.  _V )
7 forn 5318 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
87eleq1d 2186 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( ran  F  e.  _V 
<->  B  e.  _V )
)
98adantl 275 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  ( ran  F  e.  _V  <->  B  e.  _V ) )
106, 9mpbid 146 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1465   _Vcvv 2660   ran crn 4510   -->wf 5089   -onto->wfo 5091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101
This theorem is referenced by:  ennnfonelemj0  11841  ennnfonelemg  11843
  Copyright terms: Public domain W3C validator