Theorem fococnv2 5203

Description: The composition of an onto function and its converse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fococnv2	|- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )

Proof of Theorem fococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5158	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> Fun F )
2		funcocnv2 5202	. . 3 |- ( Fun F -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ran F ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ran F ) )
4		forn 5160	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
5	4	reseq2d 4660	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( _I |` ran F ) = ( _I |` B ) )
6	3, 5	eqtrd 2115	1 |- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1285   _I cid 4071   `'ccnv 4390   ran crn 4392   |` cres 4393   o. ccom 4395   Fun wfun 4946   -onto->wfo 4950

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fo 4958

This theorem is referenced by:  f1ococnv2  5204  foeqcnvco  5481