Theorem fovcl 5637

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcl.1	|- F : ( R X. S ) --> C

Assertion

Ref	Expression
fovcl	|- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Proof of Theorem fovcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcl.1	. . 3 |- F : ( R X. S ) --> C
2		ffnov 5636	. . . 4 |- ( F : ( R X. S ) --> C <-> ( F Fn ( R X. S ) /\ A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C ) )
3	2	simprbi 269	. . 3 |- ( F : ( R X. S ) --> C -> A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C )
4	1, 3	ax-mp 7	. 2 |- A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C
5		oveq1 5550	. . . 4 |- ( x = A -> ( x F y ) = ( A F y ) )
6	5	eleq1d 2148	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x F y ) e. C <-> ( A F y ) e. C ) )
7		oveq2 5551	. . . 4 |- ( y = B -> ( A F y ) = ( A F B ) )
8	7	eleq1d 2148	. . 3 |- ( y = B -> ( ( A F y ) e. C <-> ( A F B ) e. C ) )
9	6, 8	rspc2v 2714	. 2 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C -> ( A F B ) e. C ) )
10	4, 9	mpi 15	1 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434   A.wral 2349   X. cxp 4369   Fn wfn 4927   -->wf 4928  (class class class)co 5543

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-ov 5546

This theorem is referenced by:  ixxssxr  8999  fzof  9231  elfzoelz  9234  fzoval  9235