Theorem fpr 5371

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpr.1	|- A e. _V
fpr.2	|- B e. _V
fpr.3	|- C e. _V
fpr.4	|- D e. _V

Assertion

Ref	Expression
fpr	|- ( A =/= B -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Proof of Theorem fpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpr.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		fpr.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3		fpr.3	. . . . . 6 |- C e. _V
4		fpr.4	. . . . . 6 |- D e. _V
5	1, 2, 3, 4	funpr 4976	. . . . 5 |- ( A =/= B -> Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } )
6	3, 4	dmprop 4819	. . . . 5 |- dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B }
7	5, 6	jctir 306	. . . 4 |- ( A =/= B -> ( Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } /\ dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } ) )
8		df-fn 4929	. . . 4 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } <-> ( Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } /\ dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } ) )
9	7, 8	sylibr 132	. . 3 |- ( A =/= B -> { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } )
10		df-pr 3407	. . . . . 6 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
11	10	rneqi 4584	. . . . 5 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
12		rnun 4756	. . . . 5 |- ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
13	1	rnsnop 4825	. . . . . . 7 |- ran { <. A , C >. } = { C }
14	2	rnsnop 4825	. . . . . . 7 |- ran { <. B , D >. } = { D }
15	13, 14	uneq12i 3125	. . . . . 6 |- ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } ) = ( { C } u. { D } )
16		df-pr 3407	. . . . . 6 |- { C , D } = ( { C } u. { D } )
17	15, 16	eqtr4i 2105	. . . . 5 |- ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } ) = { C , D }
18	11, 12, 17	3eqtri 2106	. . . 4 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D }
19	18	eqimssi 3054	. . 3 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D }
20	9, 19	jctir 306	. 2 |- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } /\ ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } ) )
21		df-f 4930	. 2 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } <-> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } /\ ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } ) )
22	20, 21	sylibr 132	1 |- ( A =/= B -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434   =/= wne 2246   _Vcvv 2602   u. cun 2972   C_ wss 2974   {csn 3400   {cpr 3401   <.cop 3403   dom cdm 4365   ran crn 4366   Fun wfun 4920   Fn wfn 4921   -->wf 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-br 3788  df-opab 3842  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930

This theorem is referenced by: (None)