ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprg Unicode version

Theorem fprg 5378
Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fprg  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)

Proof of Theorem fprg
StepHypRef Expression
1 fnprg 4985 . 2  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }
)
2 rnsnopg 4829 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  E  ->  ran  {
<. A ,  C >. }  =  { C }
)
32adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F )  ->  ran  { <. A ,  C >. }  =  { C } )
433ad2ant1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ran  {
<. A ,  C >. }  =  { C }
)
5 rnsnopg 4829 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  F  ->  ran  {
<. B ,  D >. }  =  { D }
)
65adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F )  ->  ran  { <. B ,  D >. }  =  { D } )
763ad2ant1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ran  {
<. B ,  D >. }  =  { D }
)
84, 7uneq12d 3128 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ( ran  { <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )  =  ( { C }  u.  { D } ) )
9 df-pr 3413 . . . . . 6  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
109rneqi 4590 . . . . 5  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  ran  ( {
<. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
11 rnun 4762 . . . . 5  |-  ran  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ran  { <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )
1210, 11eqtri 2102 . . . 4  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  ( ran  { <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )
13 df-pr 3413 . . . 4  |-  { C ,  D }  =  ( { C }  u.  { D } )
148, 12, 133eqtr4g 2139 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ran  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  { C ,  D } )
15 eqimss 3052 . . 3  |-  ( ran 
{ <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  { C ,  D }  ->  ran  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } 
C_  { C ,  D } )
1614, 15syl 14 . 2  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ran  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } 
C_  { C ,  D } )
17 df-f 4936 . 2  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }  <->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }  /\  ran  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  C_  { C ,  D } ) )
181, 16, 17sylanbrc 408 1  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2246    u. cun 2972    C_ wss 2974   {csn 3406   {cpr 3407   <.cop 3409   ran crn 4372    Fn wfn 4927   -->wf 4928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936
This theorem is referenced by:  ftpg  5379
  Copyright terms: Public domain W3C validator