ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzlt2d Unicode version

Theorem frec2uzlt2d 9354
Description: The mapping  G (see frec2uz0d 9349) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzzd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
frec2uzltd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzlt2d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B ) ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    B( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzlt2d
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frec2uz.2 . . 3  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
3 frec2uzzd.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
4 frec2uzltd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
51, 2, 3, 4frec2uzltd 9353 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
6 nntri3or 6103 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
73, 4, 6syl2anc 397 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
8 ax-1 5 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) )
98a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) ) )
10 fveq2 5206 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  B  ->  ( G `  A )  =  ( G `  B ) )
1110adantl 266 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  ( G `  A )  =  ( G `  B ) )
1211breq2d 3804 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  A )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) )
1312biimpar 285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  ( G `  A )  <  ( G `  A
) )
141, 2, 3frec2uzzd 9350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ZZ )
1514adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
1615adantr 265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
1716zred 8419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  ( G `  A )  e.  RR )
1817ltnrd 7188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  -.  ( G `  A )  <  ( G `  A ) )
1913, 18pm2.21dd 560 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  A  e.  B )
2019ex 112 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) )
2120ex 112 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  ->  ( ( G `
 A )  < 
( G `  B
)  ->  A  e.  B ) ) )
221, 2, 4frec2uzzd 9350 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  e.  ZZ )
2322adantr 265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  B )  e.  ZZ )
2423zred 8419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  B )  e.  RR )
2514adantr 265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
2625zred 8419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  A )  e.  RR )
271, 2, 4, 3frec2uzltd 9353 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  A  ->  ( G `  B
)  <  ( G `  A ) ) )
2827imp 119 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  B )  <  ( G `  A
) )
2924, 26, 28ltnsymd 7195 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  -.  ( G `  A )  <  ( G `  B ) )
3029pm2.21d 559 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) )
3130ex 112 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  A  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) ) )
329, 21, 313jaod 1210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) ) )
337, 32mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) )
345, 33impbid 124 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ w3o 895    = wceq 1259    e. wcel 1409   class class class wbr 3792    |-> cmpt 3846   omcom 4341   ` cfv 4930  (class class class)co 5540  freccfrec 6008   1c1 6948    + caddc 6950    < clt 7119   ZZcz 8302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570
This theorem is referenced by:  frec2uzisod  9357
  Copyright terms: Public domain W3C validator