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Theorem frec2uzltd 9353
Description: Less-than relation for  G (see frec2uz0d 9349). (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzzd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
frec2uzltd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzltd  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    B( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzltd
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzltd.b . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
2 eleq2 2117 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  (/) ) )
3 fveq2 5206 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ( G `
 z )  =  ( G `  (/) ) )
43breq2d 3804 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  (/) ) ) )
52, 4imbi12d 227 . . . 4  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( A  e.  z  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  z ) )  <->  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A )  <  ( G `  (/) ) ) ) )
65imbi2d 223 . . 3  |-  ( z  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
) )  <->  ( ph  ->  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  (/) ) ) ) ) )
7 eleq2 2117 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  y ) )
8 fveq2 5206 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( G `  z )  =  ( G `  y ) )
98breq2d 3804 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) )
107, 9imbi12d 227 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  (
( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
)  <->  ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) ) )
1110imbi2d 223 . . 3  |-  ( z  =  y  ->  (
( ph  ->  ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) ) ) )
12 eleq2 2117 . . . . 5  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( A  e.  z  <-> 
A  e.  suc  y
) )
13 fveq2 5206 . . . . . 6  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( G `  z
)  =  ( G `
 suc  y )
)
1413breq2d 3804 . . . . 5  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( G `  A )  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) )
1512, 14imbi12d 227 . . . 4  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
)  <->  ( A  e. 
suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) )
1615imbi2d 223 . . 3  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( ph  ->  ( A  e.  z  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  z ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( A  e.  suc  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
17 eleq2 2117 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  B ) )
18 fveq2 5206 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  ( G `  z )  =  ( G `  B ) )
1918breq2d 3804 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) )
2017, 19imbi12d 227 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  (
( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
)  <->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) ) )
2120imbi2d 223 . . 3  |-  ( z  =  B  ->  (
( ph  ->  ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) ) ) )
22 noel 3256 . . . . 5  |-  -.  A  e.  (/)
2322pm2.21i 585 . . . 4  |-  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A )  <  ( G `  (/) ) )
2423a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  (/) ) ) )
25 id 19 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  y ) )  -> 
( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) )
26 fveq2 5206 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  y  ->  ( G `  A )  =  ( G `  y ) )
2726a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  y ) )  -> 
( A  =  y  ->  ( G `  A )  =  ( G `  y ) ) )
2825, 27orim12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  y ) )  -> 
( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  y )  \/  ( G `  A )  =  ( G `  y ) ) ) )
29 elsuc2g 4170 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  suc  y  <->  ( A  e.  y  \/  A  =  y ) ) )
3029bicomd 133 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  y  \/  A  =  y )  <->  A  e.  suc  y ) )
3130adantr 265 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  <->  A  e.  suc  y ) )
32 frec2uz.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
3332adantl 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  C  e.  ZZ )
34 frec2uz.2 . . . . . . . . . 10  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
35 simpl 106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  y  e.  om )
3633, 34, 35frec2uzsucd 9351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  suc  y )  =  ( ( G `  y )  +  1 ) )
3736breq2d 3804 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  suc  y )  <->  ( G `  A )  <  (
( G `  y
)  +  1 ) ) )
38 frec2uzzd.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
3938adantl 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  A  e.  om )
4033, 34, 39frec2uzuzd 9352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  A )  e.  (
ZZ>= `  C ) )
4133, 34, 35frec2uzuzd 9352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  C ) )
42 eluzelz 8578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
43 eluzelz 8578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
44 zleltp1 8357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ZZ  /\  ( G `  y )  e.  ZZ )  -> 
( ( G `  A )  <_  ( G `  y )  <->  ( G `  A )  <  ( ( G `
 y )  +  1 ) ) )
4542, 43, 44syl2an 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( ( G `  A )  <_  ( G `  y
)  <->  ( G `  A )  <  (
( G `  y
)  +  1 ) ) )
4640, 41, 45syl2anc 397 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( G `  A )  <_  ( G `  y
)  <->  ( G `  A )  <  (
( G `  y
)  +  1 ) ) )
4733, 34, 39frec2uzzd 9350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
4833, 34, 35frec2uzzd 9350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
49 zleloe 8349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ZZ  /\  ( G `  y )  e.  ZZ )  -> 
( ( G `  A )  <_  ( G `  y )  <->  ( ( G `  A
)  <  ( G `  y )  \/  ( G `  A )  =  ( G `  y ) ) ) )
5047, 48, 49syl2anc 397 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( G `  A )  <_  ( G `  y
)  <->  ( ( G `
 A )  < 
( G `  y
)  \/  ( G `
 A )  =  ( G `  y
) ) ) )
5137, 46, 503bitr2rd 210 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( (
( G `  A
)  <  ( G `  y )  \/  ( G `  A )  =  ( G `  y ) )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) )
5231, 51imbi12d 227 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( (
( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  y
)  \/  ( G `
 A )  =  ( G `  y
) ) )  <->  ( A  e.  suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) )
5328, 52syl5ib 147 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) )
5453ex 112 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y
) )  ->  ( A  e.  suc  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
5554a2d 26 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ph  ->  ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y
) ) )  -> 
( ph  ->  ( A  e.  suc  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
566, 11, 16, 21, 24, 55finds 4351 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) ) )
571, 56mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    = wceq 1259    e. wcel 1409   (/)c0 3252   class class class wbr 3792    |-> cmpt 3846   suc csuc 4130   omcom 4341   ` cfv 4930  (class class class)co 5540  freccfrec 6008   1c1 6948    + caddc 6950    < clt 7119    <_ cle 7120   ZZcz 8302   ZZ>=cuz 8569
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570
This theorem is referenced by:  frec2uzlt2d  9354  frec2uzf1od  9356
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