ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzrand Unicode version

Theorem frec2uzrand 9355
Description: Range of  G (see frec2uz0d 9349). (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
Assertion
Ref Expression
frec2uzrand  |-  ( ph  ->  ran  G  =  (
ZZ>= `  C ) )
Distinct variable groups:    x, C    ph, x
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem frec2uzrand
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 zex 8311 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  e.  _V
32mptex 5415 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  e.  _V
4 vex 2577 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
53, 4fvex 5223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V
65ax-gen 1354 . . . . . . . 8  |-  A. z
( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  z )  e.  _V
7 frecfnom 6017 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. z ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V  /\  C  e.  ZZ )  -> frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  Fn  om )
86, 7mpan 408 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  -> frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  Fn  om )
9 frec2uz.2 . . . . . . . 8  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
109fneq1i 5021 . . . . . . 7  |-  ( G  Fn  om  <-> frec ( (
x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  Fn  om )
118, 10sylibr 141 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ZZ  ->  G  Fn  om )
12 fvelrnb 5249 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  om  ->  (
y  e.  ran  G  <->  E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y ) )
1311, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( C  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ran  G  <->  E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y ) )
14 simpl 106 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  C  e.  ZZ )
15 simpr 107 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  z  e.  om )
1614, 9, 15frec2uzuzd 9352 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  ( G `  z
)  e.  ( ZZ>= `  C ) )
17 eleq1 2116 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  z )  =  y  ->  (
( G `  z
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  y  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
1816, 17syl5ibcom 148 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  z )  =  y  ->  y  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
1918rexlimdva 2450 . . . . 5  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y  ->  y  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
2013, 19sylbid 143 . . . 4  |-  ( C  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ran  G  ->  y  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
21 eleq1 2116 . . . . 5  |-  ( w  =  C  ->  (
w  e.  ran  G  <->  C  e.  ran  G ) )
22 eleq1 2116 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  ran  G  <->  y  e.  ran  G ) )
23 eleq1 2116 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
w  e.  ran  G  <->  ( y  +  1 )  e.  ran  G ) )
24 id 19 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  ZZ )
2524, 9frec2uz0d 9349 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( G `  (/) )  =  C )
26 peano1 4345 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
27 fnfvelrn 5327 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  om  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( G `  (/) )  e. 
ran  G )
2811, 26, 27sylancl 398 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( G `  (/) )  e. 
ran  G )
2925, 28eqeltrrd 2131 . . . . 5  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  ran  G )
30 eluzel2 8574 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  C  e.  ZZ )
3114, 9, 15frec2uzsucd 9351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  ( G `  suc  z )  =  ( ( G `  z
)  +  1 ) )
32 oveq1 5547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  z )  =  y  ->  (
( G `  z
)  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
3331, 32sylan9eq 2108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  /\  ( G `  z
)  =  y )  ->  ( G `  suc  z )  =  ( y  +  1 ) )
34 peano2 4346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  om  ->  suc  z  e.  om )
35 fnfvelrn 5327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  Fn  om  /\  suc  z  e.  om )  ->  ( G `  suc  z )  e.  ran  G )
3611, 34, 35syl2an 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  ( G `  suc  z )  e.  ran  G )
3736adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  /\  ( G `  z
)  =  y )  ->  ( G `  suc  z )  e.  ran  G )
3833, 37eqeltrrd 2131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  /\  ( G `  z
)  =  y )  ->  ( y  +  1 )  e.  ran  G )
3938ex 112 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  z )  =  y  ->  ( y  +  1 )  e.  ran  G ) )
4039rexlimdva 2450 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y  ->  (
y  +  1 )  e.  ran  G ) )
4113, 40sylbid 143 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ran  G  ->  ( y  +  1 )  e.  ran  G
) )
4230, 41syl 14 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( y  e.  ran  G  ->  (
y  +  1 )  e.  ran  G ) )
4321, 22, 23, 22, 29, 42uzind4 8627 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  y  e.  ran  G )
4420, 43impbid1 134 . . 3  |-  ( C  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ran  G  <->  y  e.  ( ZZ>= `  C
) ) )
4544eqrdv 2054 . 2  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ran  G  =  ( ZZ>= `  C
) )
461, 45syl 14 1  |-  ( ph  ->  ran  G  =  (
ZZ>= `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102   A.wal 1257    = wceq 1259    e. wcel 1409   E.wrex 2324   _Vcvv 2574   (/)c0 3252    |-> cmpt 3846   suc csuc 4130   omcom 4341   ran crn 4374    Fn wfn 4925   ` cfv 4930  (class class class)co 5540  freccfrec 6008   1c1 6948    + caddc 6950   ZZcz 8302   ZZ>=cuz 8569
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570
This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  9356
  Copyright terms: Public domain W3C validator