ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzsucd Unicode version

Theorem frec2uzsucd 9519
Description: The value of  G (see frec2uz0d 9517) at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzzd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzsucd  |-  ( ph  ->  ( G `  suc  A )  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzsucd
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2z 8504 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z  +  1 )  e.  ZZ )
2 oveq1 5571 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
3 eqid 2083 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) )
42, 3fvmptg 5301 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( z  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `
 z )  =  ( z  +  1 ) )
51, 4mpdan 412 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  z
)  =  ( z  +  1 ) )
65, 1eqeltrd 2159 . . . . 5  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  z
)  e.  ZZ )
76rgen 2421 . . . 4  |-  A. z  e.  ZZ  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `
 z )  e.  ZZ
8 frec2uz.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
9 frec2uzzd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
10 frecsuc 6077 . . . 4  |-  ( ( A. z  e.  ZZ  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  z )  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  e.  om )  ->  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  suc  A )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C ) `  A
) ) )
117, 8, 9, 10mp3an2i 1274 . . 3  |-  ( ph  ->  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  suc  A )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C ) `  A
) ) )
12 frec2uz.2 . . . 4  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
1312fveq1i 5231 . . 3  |-  ( G `
 suc  A )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  suc  A )
1412fveq1i 5231 . . . 4  |-  ( G `
 A )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  A )
1514fveq2i 5233 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  ( G `
 A ) )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `
 (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `
 A ) )
1611, 13, 153eqtr4g 2140 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  suc  A )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  ( G `
 A ) ) )
178, 12, 9frec2uzzd 9518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ZZ )
18 oveq1 5571 . . . 4  |-  ( z  =  ( G `  A )  ->  (
z  +  1 )  =  ( ( G `
 A )  +  1 ) )
192cbvmptv 3894 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  =  ( z  e.  ZZ  |->  ( z  +  1 ) )
2018, 19, 1fvmpt3 5304 . . 3  |-  ( ( G `  A )  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  ( G `  A )
)  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
2117, 20syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  ( G `  A ) )  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
2216, 21eqtrd 2115 1  |-  ( ph  ->  ( G `  suc  A )  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353    |-> cmpt 3860   suc csuc 4149   omcom 4360   ` cfv 4953  (class class class)co 5564  freccfrec 6060   1c1 7080    + caddc 7082   ZZcz 8468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-addcom 7174  ax-addass 7176  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-cnre 7185
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-recs 5975  df-frec 6061  df-sub 7384  df-neg 7385  df-inn 8143  df-n0 8392  df-z 8469
This theorem is referenced by:  frec2uzuzd  9520  frec2uzltd  9521  frec2uzrand  9523  frec2uzrdg  9527  frecuzrdgsuc  9532  frecuzrdgg  9534  frecfzennn  9544  omgadd  9862
  Copyright terms: Public domain W3C validator