ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzsucd Unicode version

Theorem frec2uzsucd 9345
Description: The value of  G (see frec2uz0d 9343) at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzzd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzsucd  |-  ( ph  ->  ( G `  suc  A )  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzsucd
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frec2uzzd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
3 zex 8310 . . . . . . . 8  |-  ZZ  e.  _V
43mptex 5414 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  e.  _V
5 vex 2577 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
64, 5fvex 5222 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  y )  e.  _V
76ax-gen 1354 . . . . 5  |-  A. y
( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  y )  e.  _V
8 frecsuc 6021 . . . . 5  |-  ( ( A. y ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  y )  e.  _V  /\  C  e.  ZZ  /\  A  e. 
om )  ->  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C ) `  suc  A )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  C
) `  A )
) )
97, 8mp3an1 1230 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  om )  ->  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  suc  A )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C ) `  A
) ) )
101, 2, 9syl2anc 397 . . 3  |-  ( ph  ->  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  suc  A )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C ) `  A
) ) )
11 frec2uz.2 . . . 4  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
1211fveq1i 5206 . . 3  |-  ( G `
 suc  A )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  suc  A )
1311fveq1i 5206 . . . 4  |-  ( G `
 A )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  A )
1413fveq2i 5208 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  ( G `
 A ) )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `
 (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `
 A ) )
1510, 12, 143eqtr4g 2113 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  suc  A )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  ( G `
 A ) ) )
161, 11, 2frec2uzzd 9344 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ZZ )
17 oveq1 5546 . . . 4  |-  ( z  =  ( G `  A )  ->  (
z  +  1 )  =  ( ( G `
 A )  +  1 ) )
18 oveq1 5546 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
x  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
1918cbvmptv 3879 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  =  ( z  e.  ZZ  |->  ( z  +  1 ) )
20 peano2z 8337 . . . 4  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z  +  1 )  e.  ZZ )
2117, 19, 20fvmpt3 5278 . . 3  |-  ( ( G `  A )  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  ( G `  A )
)  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
2216, 21syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  ( G `  A ) )  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
2315, 22eqtrd 2088 1  |-  ( ph  ->  ( G `  suc  A )  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1257    = wceq 1259    e. wcel 1409   _Vcvv 2574    |-> cmpt 3845   suc csuc 4129   omcom 4340   ` cfv 4929  (class class class)co 5539  freccfrec 6007   1c1 6947    + caddc 6949   ZZcz 8301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-recs 5950  df-frec 6008  df-sub 7246  df-neg 7247  df-inn 7990  df-n0 8239  df-z 8302
This theorem is referenced by:  frec2uzuzd  9346  frec2uzltd  9347  frec2uzrand  9349  frec2uzrdg  9353  frecuzrdgsuc  9359  frecfzennn  9361
  Copyright terms: Public domain W3C validator