ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzsucd Unicode version

Theorem frec2uzsucd 10142
Description: The value of  G (see frec2uz0d 10140) at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzzd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzsucd  |-  ( ph  ->  ( G `  suc  A )  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzsucd
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2z 9058 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z  +  1 )  e.  ZZ )
2 oveq1 5749 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
3 eqid 2117 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) )
42, 3fvmptg 5465 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( z  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `
 z )  =  ( z  +  1 ) )
51, 4mpdan 417 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  z
)  =  ( z  +  1 ) )
65, 1eqeltrd 2194 . . . . 5  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  z
)  e.  ZZ )
76rgen 2462 . . . 4  |-  A. z  e.  ZZ  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `
 z )  e.  ZZ
8 frec2uz.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
9 frec2uzzd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
10 frecsuc 6272 . . . 4  |-  ( ( A. z  e.  ZZ  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  z )  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  e.  om )  ->  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  suc  A )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C ) `  A
) ) )
117, 8, 9, 10mp3an2i 1305 . . 3  |-  ( ph  ->  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  suc  A )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C ) `  A
) ) )
12 frec2uz.2 . . . 4  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
1312fveq1i 5390 . . 3  |-  ( G `
 suc  A )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  suc  A )
1412fveq1i 5390 . . . 4  |-  ( G `
 A )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  A )
1514fveq2i 5392 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  ( G `
 A ) )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `
 (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `
 A ) )
1611, 13, 153eqtr4g 2175 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  suc  A )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  ( G `
 A ) ) )
178, 12, 9frec2uzzd 10141 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ZZ )
18 oveq1 5749 . . . 4  |-  ( z  =  ( G `  A )  ->  (
z  +  1 )  =  ( ( G `
 A )  +  1 ) )
192cbvmptv 3994 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  =  ( z  e.  ZZ  |->  ( z  +  1 ) )
2018, 19, 1fvmpt3 5468 . . 3  |-  ( ( G `  A )  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  ( G `  A )
)  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
2117, 20syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  ( G `  A ) )  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
2216, 21eqtrd 2150 1  |-  ( ph  ->  ( G `  suc  A )  =  ( ( G `  A )  +  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393    |-> cmpt 3959   suc csuc 4257   omcom 4474   ` cfv 5093  (class class class)co 5742  freccfrec 6255   1c1 7589    + caddc 7591   ZZcz 9022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-recs 6170  df-frec 6256  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023
This theorem is referenced by:  frec2uzuzd  10143  frec2uzltd  10144  frec2uzrand  10146  frec2uzrdg  10150  frecuzrdgsuc  10155  frecuzrdgg  10157  frecfzennn  10167  1tonninf  10181  omgadd  10516  ennnfonelemkh  11852  ennnfonelemhf1o  11853  ennnfonelemnn0  11862  isomninnlem  13152
  Copyright terms: Public domain W3C validator