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Theorem frec2uzzd 9344
Description: The value of  G (see frec2uz0d 9343) is an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzzd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzzd  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ZZ )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzzd
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzzd.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
2 simpr 107 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  A )  ->  w  =  A )
32eleq1d 2122 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  =  A )  ->  (
w  e.  om  <->  A  e.  om ) )
42fveq2d 5209 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  A )  ->  ( G `  w )  =  ( G `  A ) )
54eleq1d 2122 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  =  A )  ->  (
( G `  w
)  e.  ZZ  <->  ( G `  A )  e.  ZZ ) )
63, 5imbi12d 227 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  =  A )  ->  (
( w  e.  om  ->  ( G `  w
)  e.  ZZ )  <-> 
( A  e.  om  ->  ( G `  A
)  e.  ZZ ) ) )
7 fveq2 5205 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( G `
 w )  =  ( G `  (/) ) )
87eleq1d 2122 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( G `  w )  e.  ZZ  <->  ( G `  (/) )  e.  ZZ ) )
9 fveq2 5205 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  ( G `  w )  =  ( G `  y ) )
109eleq1d 2122 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( G `  w
)  e.  ZZ  <->  ( G `  y )  e.  ZZ ) )
11 fveq2 5205 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( G `  w
)  =  ( G `
 suc  y )
)
1211eleq1d 2122 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( ( G `  w )  e.  ZZ  <->  ( G `  suc  y
)  e.  ZZ ) )
13 frec2uz.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
14 frec2uz.2 . . . . . . 7  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
1513, 14frec2uz0d 9343 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  C )
1615, 13eqeltrd 2130 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  e.  ZZ )
17 zex 8310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ZZ  e.  _V
1817mptex 5414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  e.  _V
19 vex 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
2018, 19fvex 5222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V
2120ax-gen 1354 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. z
( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  z )  e.  _V
22 frecsuc 6021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. z ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V  /\  C  e.  ZZ  /\  y  e. 
om )  ->  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C ) `  suc  y )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C ) `  y
) ) )
2321, 22mp3an1 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  y  e.  om )  ->  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  suc  y )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C ) `  y
) ) )
2413, 23sylan 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  (frec (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  C
) `  suc  y )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `
 (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `
 y ) ) )
2514fveq1i 5206 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 suc  y )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  suc  y )
2614fveq1i 5206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 y )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `  y )
2726fveq2i 5208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  ( G `
 y ) )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `
 (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C ) `
 y ) )
2824, 25, 273eqtr4g 2113 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( G `  suc  y )  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  ( G `  y ) ) )
29 oveq1 5546 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( G `  y )  ->  (
z  +  1 )  =  ( ( G `
 y )  +  1 ) )
30 oveq1 5546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
x  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
3130cbvmptv 3879 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  =  ( z  e.  ZZ  |->  ( z  +  1 ) )
32 peano2z 8337 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z  +  1 )  e.  ZZ )
3329, 31, 32fvmpt3 5278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  y )  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) `  ( G `  y )
)  =  ( ( G `  y )  +  1 ) )
3428, 33sylan9eq 2108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( G `  y )  e.  ZZ )  ->  ( G `  suc  y )  =  ( ( G `
 y )  +  1 ) )
35 peano2z 8337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  y )  e.  ZZ  ->  (
( G `  y
)  +  1 )  e.  ZZ )
3635adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( G `  y )  e.  ZZ )  ->  (
( G `  y
)  +  1 )  e.  ZZ )
3734, 36eqeltrd 2130 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( G `  y )  e.  ZZ )  ->  ( G `  suc  y )  e.  ZZ )
3837ex 112 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( ( G `  y )  e.  ZZ  ->  ( G `  suc  y )  e.  ZZ ) )
3938expcom 113 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 y )  e.  ZZ  ->  ( G `  suc  y )  e.  ZZ ) ) )
408, 10, 12, 16, 39finds2 4351 . . . 4  |-  ( w  e.  om  ->  ( ph  ->  ( G `  w )  e.  ZZ ) )
4140com12 30 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  om  ->  ( G `  w
)  e.  ZZ ) )
421, 6, 41vtocld 2623 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  om  ->  ( G `  A
)  e.  ZZ ) )
431, 42mpd 13 1  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101   A.wal 1257    = wceq 1259    e. wcel 1409   _Vcvv 2574   (/)c0 3251    |-> cmpt 3845   suc csuc 4129   omcom 4340   ` cfv 4929  (class class class)co 5539  freccfrec 6007   1c1 6947    + caddc 6949   ZZcz 8301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-recs 5950  df-frec 6008  df-sub 7246  df-neg 7247  df-inn 7990  df-n0 8239  df-z 8302
This theorem is referenced by:  frec2uzsucd  9345  frec2uzltd  9347  frec2uzlt2d  9348  frec2uzf1od  9350  frec2uzrdg  9353
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