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Theorem frecabcl 6068
Description: The class abstraction from df-frec 6060 exists. Unlike frecabex 6067 the function  F only needs to be defined on  S, not all sets. This is a lemma for other finite recursion proofs. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecabcl.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
frecabcl.g  |-  ( ph  ->  G : N --> S )
frecabcl.fs  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  ( F `  y )  e.  S )
frecabcl.as  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
Assertion
Ref Expression
frecabcl  |-  ( ph  ->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )  \/  ( dom 
G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) }  e.  S )
Distinct variable groups:    A, m, x   
m, F, x, y   
m, G, x, y   
m, N, x, y   
x, S, y    ph, m, x, y
Allowed substitution hints:    A( y)    S( m)

Proof of Theorem frecabcl
Dummy variables  k  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecabcl.as . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
21adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  A  e.  S )
3 peano1 4363 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
4 elex2 2624 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  om  ->  E. a 
a  e.  om )
5 r19.9rmv 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  a  e.  om  ->  ( x  e.  A  <->  E. m  e.  om  x  e.  A ) )
63, 4, 5mp2b 8 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  <->  E. m  e.  om  x  e.  A
)
7 frecabcl.g . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : N --> S )
8 fdm 5101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : N --> S  ->  dom  G  =  N )
97, 8syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  G  =  N )
109adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  dom  G  =  N )
11 eqeq2 2092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  (/)  ->  ( dom 
G  =  N  <->  dom  G  =  (/) ) )
1211adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( dom  G  =  N  <->  dom  G  =  (/) ) )
1310, 12mpbid 145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  dom  G  =  (/) )
1413adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  dom  G  =  (/) )
1514biantrurd 299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  (
x  e.  A  <->  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) )
16 peano3 4365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  om  ->  suc  m  =/=  (/) )
1716adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  suc  m  =/=  (/) )
1817, 14neeqtrrd 2279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  suc  m  =/=  dom  G )
1918necomd 2335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  dom  G  =/=  suc  m )
2019neneqd 2270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  -.  dom  G  =  suc  m
)
2120intnanrd 875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  -.  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) ) )
22 biorf 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  ->  (
( dom  G  =  (/) 
/\  x  e.  A
)  <->  ( ( dom 
G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
2321, 22syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  (
( dom  G  =  (/) 
/\  x  e.  A
)  <->  ( ( dom 
G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
2415, 23bitrd 186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  (
x  e.  A  <->  ( ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
2524rexbidva 2370 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( E. m  e.  om  x  e.  A  <->  E. m  e.  om  ( ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
266, 25syl5bb 190 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( x  e.  A  <->  E. m  e.  om  ( ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
27 r19.44mv 3352 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  a  e.  om  ->  ( E. m  e. 
om  ( ( dom 
G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) )  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
283, 4, 27mp2b 8 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  om  (
( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) )  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) )
2926, 28syl6bb 194 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( x  e.  A  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
3029alrimiv 1797 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  A. x
( x  e.  A  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )  \/  ( dom 
G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
312, 30jca 300 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( A  e.  S  /\  A. x
( x  e.  A  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )  \/  ( dom 
G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
32 eleq1 2145 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
z  e.  S  <->  A  e.  S ) )
33 eleq2 2146 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  A ) )
3433bibi1d 231 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  (
( x  e.  z  <-> 
( E. m  e. 
om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) )  <-> 
( x  e.  A  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )  \/  ( dom 
G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
3534albidv 1747 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) )  <->  A. x ( x  e.  A  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
3632, 35anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )  <->  ( A  e.  S  /\  A. x
( x  e.  A  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )  \/  ( dom 
G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) ) )
3736spcegv 2695 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  (
( A  e.  S  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )  ->  E. z
( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) ) )
382, 31, 37sylc 61 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  E. z
( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
39 fveq2 5229 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( G `  k )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
4039eleq1d 2151 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( G `  k )  ->  (
( F `  y
)  e.  S  <->  ( F `  ( G `  k
) )  e.  S
) )
41 frecabcl.fs . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  ( F `  y )  e.  S )
4241ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  A. y  e.  S  ( F `  y )  e.  S )
437ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  G : N --> S )
44 vex 2613 . . . . . . . . . . . 12  |-  k  e. 
_V
4544sucid 4200 . . . . . . . . . . 11  |-  k  e. 
suc  k
46 eleq2 2146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  suc  k  -> 
( k  e.  N  <->  k  e.  suc  k ) )
4745, 46mpbiri 166 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  suc  k  -> 
k  e.  N )
4847adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
k  e.  N )
4943, 48ffvelrnd 5355 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( G `  k
)  e.  S )
5040, 42, 49rspcdva 2715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( F `  ( G `  k )
)  e.  S )
51 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) )  ->  k  e.  om )
5243, 8syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  dom  G  =  N )
5352adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) )  ->  dom  G  =  N )
54 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) )  ->  N  =  suc  k )
5553, 54eqtrd 2115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) )  ->  dom  G  =  suc  k )
56 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) )  ->  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) )
5755, 56jca 300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) )  ->  ( dom  G  =  suc  k  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k ) ) ) )
58 suceq 4185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  k  ->  suc  m  =  suc  k )
5958eqeq2d 2094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  k  ->  ( dom  G  =  suc  m  <->  dom 
G  =  suc  k
) )
60 fveq2 5229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  k  ->  ( G `  m )  =  ( G `  k ) )
6160fveq2d 5233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  ( G `  m ) )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
6261eleq2d 2152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  k  ->  (
x  e.  ( F `
 ( G `  m ) )  <->  x  e.  ( F `  ( G `
 k ) ) ) )
6359, 62anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  (
( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  <->  ( dom  G  =  suc  k  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k
) ) ) ) )
6463rspcev 2710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( dom  G  =  suc  k  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 k ) ) ) )  ->  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) ) )
6551, 57, 64syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) )  ->  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) ) )
6665ex 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( x  e.  ( F `  ( G `
 k ) )  ->  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) ) ) )
67 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )  ->  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )
6867adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )
6952ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  dom  G  =  N )
70 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  dom  G  =  suc  m )
71 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  N  =  suc  k )
7269, 70, 713eqtr3rd 2124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  suc  k  =  suc  m )
73 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
k  e.  om )
7473ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  k  e.  om )
75 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  m  e.  om )
76 peano4 4366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  om  /\  m  e.  om )  ->  ( suc  k  =  suc  m  <->  k  =  m ) )
7774, 75, 76syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  ( suc  k  =  suc  m  <->  k  =  m ) )
7872, 77mpbid 145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  k  =  m )
7978fveq2d 5233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  m ) )
8079fveq2d 5233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  ( F `  ( G `  k
) )  =  ( F `  ( G `
 m ) ) )
8180eleq2d 2152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( F `  ( G `  k )
)  <->  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )
8268, 81mpbird 165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  x  e.  ( F `  ( G `
 k ) ) )
8382ex 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  ->  (
( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  ->  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) ) )
8483rexlimdva 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( E. m  e. 
om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  ->  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) ) )
8566, 84impbid 127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( x  e.  ( F `  ( G `
 k ) )  <->  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) ) ) )
8685alrimiv 1797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  A. x ( x  e.  ( F `  ( G `  k )
)  <->  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) ) ) )
87 peano3 4365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  =/=  (/) )
8873, 87syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  suc  k  =/=  (/) )
89 neeq1 2262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  =  suc  k  -> 
( N  =/=  (/)  <->  suc  k  =/=  (/) ) )
9089adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( N  =/=  (/)  <->  suc  k  =/=  (/) ) )
9188, 90mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  N  =/=  (/) )
9252, 91eqnetrd 2273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  dom  G  =/=  (/) )
9392neneqd 2270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  -.  dom  G  =  (/) )
9493intnanrd 875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  -.  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A
) )
95 biorf 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A
)  ->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  <-> 
( ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A )  \/  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) ) ) )
9694, 95syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( E. m  e. 
om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  <->  ( ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A )  \/  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) ) ) )
97 orcom 680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A
)  \/  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) ) )  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) )
9896, 97syl6bb 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( E. m  e. 
om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
9998bibi2d 230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( ( x  e.  ( F `  ( G `  k )
)  <->  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) ) )  <->  ( x  e.  ( F `  ( G `  k )
)  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
10099albidv 1747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( A. x ( x  e.  ( F `
 ( G `  k ) )  <->  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) ) )  <->  A. x
( x  e.  ( F `  ( G `
 k ) )  <-> 
( E. m  e. 
om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
10186, 100mpbid 145 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  A. x ( x  e.  ( F `  ( G `  k )
)  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
10250, 101jca 300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( ( F `  ( G `  k ) )  e.  S  /\  A. x ( x  e.  ( F `  ( G `  k )
)  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
103 eleq1 2145 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( F `  ( G `  k ) )  ->  ( z  e.  S  <->  ( F `  ( G `  k ) )  e.  S ) )
104 eleq2 2146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  ( G `  k ) )  ->  ( x  e.  z  <->  x  e.  ( F `  ( G `  k ) ) ) )
105104bibi1d 231 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( F `  ( G `  k ) )  ->  ( (
x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) )  <-> 
( x  e.  ( F `  ( G `
 k ) )  <-> 
( E. m  e. 
om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
106105albidv 1747 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( F `  ( G `  k ) )  ->  ( A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) )  <->  A. x ( x  e.  ( F `  ( G `  k )
)  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
107103, 106anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( F `  ( G `  k ) )  ->  ( (
z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )  <->  ( ( F `
 ( G `  k ) )  e.  S  /\  A. x
( x  e.  ( F `  ( G `
 k ) )  <-> 
( E. m  e. 
om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) ) )
108107spcegv 2695 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( G `
 k ) )  e.  S  ->  (
( ( F `  ( G `  k ) )  e.  S  /\  A. x ( x  e.  ( F `  ( G `  k )
)  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )  ->  E. z
( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) ) )
10950, 102, 108sylc 61 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  E. z ( z  e.  S  /\  A. x
( x  e.  z  <-> 
( E. m  e. 
om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
110109ex 113 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  ( N  =  suc  k  ->  E. z
( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) ) )
111110rexlimdva 2482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. k  e. 
om  N  =  suc  k  ->  E. z ( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) ) )
112111imp 122 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  om  N  =  suc  k )  ->  E. z
( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
113 frecabcl.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
114 nn0suc 4373 . . . 4  |-  ( N  e.  om  ->  ( N  =  (/)  \/  E. k  e.  om  N  =  suc  k ) )
115113, 114syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  =  (/)  \/ 
E. k  e.  om  N  =  suc  k ) )
11638, 112, 115mpjaodan 745 . 2  |-  ( ph  ->  E. z ( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
117 clabel 2208 . 2  |-  ( { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) }  e.  S  <->  E. z
( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
118116, 117sylibr 132 1  |-  ( ph  ->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )  \/  ( dom 
G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) }  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662   A.wal 1283    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   {cab 2069    =/= wne 2249   A.wral 2353   E.wrex 2354   (/)c0 3267   suc csuc 4148   omcom 4359   dom cdm 4391   -->wf 4948   ` cfv 4952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960
This theorem is referenced by:  freccllem  6071  frecfcllem  6073  frecsuclem  6075
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