Theorem frecuzrdg0t 10195

Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
frecuzrdgrclt.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrclt.t	|- ( ph -> S C_ T )
frecuzrdgrclt.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrclt.r	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdg0t.ran	|- ( ph -> P = ran R )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdg0t	|- ( ph -> ( P ` C ) = A )

Distinct variable groups:   x, C, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdg0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frecuzrdgrclt.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
3		frecuzrdgrclt.t	. . . 4 |- ( ph -> S C_ T )
4		frecuzrdgrclt.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrclt.r	. . . 4 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6		frecuzrdg0t.ran	. . . 4 |- ( ph -> P = ran R )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frecuzrdgtclt 10194	. . 3 |- ( ph -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )
8		ffun 5275	. . 3 |- ( P : ( ZZ>= ` C ) --> S -> Fun P )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> Fun P )
10	5	fveq1i 5422	. . . . 5 |- ( R ` (/) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` (/) )
11		opexg 4150	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. S ) -> <. C , A >. e. _V )
12	1, 2, 11	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ph -> <. C , A >. e. _V )
13		frec0g 6294	. . . . . 6 |- ( <. C , A >. e. _V -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` (/) ) = <. C , A >. )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` (/) ) = <. C , A >. )
15	10, 14	syl5eq 2184	. . . 4 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = <. C , A >. )
16	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 10188	. . . . . 6 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
17		ffn 5272	. . . . . 6 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> R Fn om )
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> R Fn om )
19		peano1 4508	. . . . 5 |- (/) e. om
20		fnfvelrn 5552	. . . . 5 |- ( ( R Fn om /\ (/) e. om ) -> ( R ` (/) ) e. ran R )
21	18, 19, 20	sylancl 409	. . . 4 |- ( ph -> ( R ` (/) ) e. ran R )
22	15, 21	eqeltrrd 2217	. . 3 |- ( ph -> <. C , A >. e. ran R )
23	22, 6	eleqtrrd 2219	. 2 |- ( ph -> <. C , A >. e. P )
24		funopfv 5461	. 2 |- ( Fun P -> ( <. C , A >. e. P -> ( P ` C ) = A ) )
25	9, 23, 24	sylc 62	1 |- ( ph -> ( P ` C ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   (/)c0 3363   <.cop 3530   omcom 4504   X. cxp 4537   ran crn 4540   Fun wfun 5117   Fn wfn 5118   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776  freccfrec 6287   1c1 7621   + caddc 7623   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by:  seq3-1  10233  seq1cd  10238