Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdgrclt Unicode version

Theorem frecuzrdgrclt 9567
 Description: The function (used in the definition of the recursive definition generator on upper integers) yields ordered pairs of integers and elements of . Similar to frecuzrdgrcl 9562 except that and need not be the same. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecuzrdgrclt.c
frecuzrdgrclt.a
frecuzrdgrclt.t
frecuzrdgrclt.f
frecuzrdgrclt.r frec
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgrclt
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem frecuzrdgrclt
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1st2nd2 5853 . . . . . . 7
21adantl 271 . . . . . 6
32fveq2d 5234 . . . . 5
4 df-ov 5567 . . . . . . 7
5 xp1st 5844 . . . . . . . . 9
65adantl 271 . . . . . . . 8
7 frecuzrdgrclt.t . . . . . . . . . 10
87sseld 3007 . . . . . . . . 9
9 xp2nd 5845 . . . . . . . . 9
108, 9impel 274 . . . . . . . 8
11 peano2uz 8822 . . . . . . . . . 10
126, 11syl 14 . . . . . . . . 9
13 frecuzrdgrclt.f . . . . . . . . . . . 12
1413ralrimivva 2448 . . . . . . . . . . 11
1514adantr 270 . . . . . . . . . 10
169adantl 271 . . . . . . . . . . 11
17 oveq1 5571 . . . . . . . . . . . . 13
1817eleq1d 2151 . . . . . . . . . . . 12
19 oveq2 5572 . . . . . . . . . . . . 13
2019eleq1d 2151 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20rspc2v 2721 . . . . . . . . . . 11
226, 16, 21syl2anc 403 . . . . . . . . . 10
2315, 22mpd 13 . . . . . . . . 9
24 opelxp 4420 . . . . . . . . 9
2512, 23, 24sylanbrc 408 . . . . . . . 8
26 oveq1 5571 . . . . . . . . . 10
2726, 17opeq12d 3598 . . . . . . . . 9
2819opeq2d 3597 . . . . . . . . 9
29 eqid 2083 . . . . . . . . 9
3027, 28, 29ovmpt2g 5687 . . . . . . . 8
316, 10, 25, 30syl3anc 1170 . . . . . . 7
324, 31syl5eqr 2129 . . . . . 6
3332, 25eqeltrd 2159 . . . . 5
343, 33eqeltrd 2159 . . . 4
3534ralrimiva 2439 . . 3
36 frecuzrdgrclt.c . . . . 5
37 uzid 8784 . . . . 5
3836, 37syl 14 . . . 4
39 frecuzrdgrclt.a . . . 4
40 opelxp 4420 . . . 4
4138, 39, 40sylanbrc 408 . . 3
42 frecfcl 6075 . . 3 frec
4335, 41, 42syl2anc 403 . 2 frec
44 frecuzrdgrclt.r . . 3 frec
4544feq1i 5090 . 2 frec
4643, 45sylibr 132 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wceq 1285   wcel 1434  wral 2353   wss 2982  cop 3419  com 4359   cxp 4389  wf 4948  cfv 4952  (class class class)co 5564   cmpt2 5566  c1st 5817  c2nd 5818  freccfrec 6060  c1 7114   caddc 7116  cz 8502  cuz 8770 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-addcom 7208  ax-addass 7210  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-ltadd 7224 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-inn 8177  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771 This theorem is referenced by:  frecuzrdgg  9568  frecuzrdgdomlem  9569  frecuzrdgfunlem  9571  frecuzrdgtclt  9573  frecuzrdg0t  9574  frecuzrdgsuctlem  9575  iseqvalt  9602
 Copyright terms: Public domain W3C validator