Theorem frecuzrdgsuctlem 10196

Description: Successor value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 10172 for the description of G as the mapping from om to ( ZZ>= ` C ). (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
frecuzrdgrclt.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrclt.t	|- ( ph -> S C_ T )
frecuzrdgrclt.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrclt.r	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdgsuctlem.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frecuzrdgsuctlem.ran	|- ( ph -> P = ran R )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdgsuctlem	|- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( P ` B ) ) )

Distinct variable groups:   x, C, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y   x, B, y   x, G, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdgsuctlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frecuzrdgrclt.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. S )
3		frecuzrdgrclt.t	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ T )
4		frecuzrdgrclt.f	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrclt.r	. . . . . 6 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6		frecuzrdgsuctlem.ran	. . . . . 6 |- ( ph -> P = ran R )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frecuzrdgtclt 10194	. . . . 5 |- ( ph -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )
8	7	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )
9		ffun 5275	. . . 4 |- ( P : ( ZZ>= ` C ) --> S -> Fun P )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> Fun P )
11		1st2nd2 6073	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
12	11	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
13	12	fveq2d 5425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. ) )
14		df-ov 5777	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` z ) ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` z ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
15	13, 14	syl6eqr 2190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) = ( ( 1st ` z ) ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` z ) ) )
16		xp1st 6063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ( 1st ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) )
17	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( 1st ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) )
18	3	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> S C_ T )
19		xp2nd 6064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ( 2nd ` z ) e. S )
20	19	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( 2nd ` z ) e. S )
21	18, 20	sseldd 3098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( 2nd ` z ) e. T )
22		peano2uz 9378	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( ( 1st ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
23	17, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
24		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( 2nd ` z ) -> ( ( 1st ` z ) F y ) = ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) )
25	24	eleq1d 2208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( 2nd ` z ) -> ( ( ( 1st ` z ) F y ) e. S <-> ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) e. S ) )
26		oveq1 5781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( 1st ` z ) -> ( x F y ) = ( ( 1st ` z ) F y ) )
27	26	eleq1d 2208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( 1st ` z ) -> ( ( x F y ) e. S <-> ( ( 1st ` z ) F y ) e. S ) )
28	27	ralbidv 2437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( 1st ` z ) -> ( A. y e. S ( x F y ) e. S <-> A. y e. S ( ( 1st ` z ) F y ) e. S ) )
29	4	ralrimivva 2514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` C ) A. y e. S ( x F y ) e. S )
30	29	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` C ) A. y e. S ( x F y ) e. S )
31	28, 30, 17	rspcdva 2794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> A. y e. S ( ( 1st ` z ) F y ) e. S )
32	25, 31, 20	rspcdva 2794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) e. S )
33		opelxpi 4571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 1st ` z ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) e. S ) -> <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
34	23, 32, 33	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
35		oveq1 5781	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( 1st ` z ) -> ( x + 1 ) = ( ( 1st ` z ) + 1 ) )
36	35, 26	opeq12d 3713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( 1st ` z ) -> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F y ) >. )
37	24	opeq2d 3712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( 2nd ` z ) -> <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F y ) >. = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. )
38		eqid 2139	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) = ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. )
39	36, 37, 38	ovmpog 5905	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1st ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( 2nd ` z ) e. T /\ <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` z ) ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` z ) ) = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. )
40	17, 21, 34, 39	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` z ) ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` z ) ) = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. )
41	15, 40	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) = <. ( ( 1st ` z ) + 1 ) , ( ( 1st ` z ) F ( 2nd ` z ) ) >. )
42	41, 34	eqeltrd 2216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
43	42	ralrimiva 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> A. z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
44		uzid 9340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ZZ -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
45	1, 44	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
46		opelxpi 4571	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` C ) /\ A e. S ) -> <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
47	45, 2, 46	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
48	47	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
49		frecuzrdgsuctlem.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
50	1, 49	frec2uzf1od 10179	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )
51		f1ocnvdm 5682	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( `' G ` B ) e. om )
52	50, 51	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( `' G ` B ) e. om )
53		frecsuc 6304	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. z e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) /\ <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) /\ ( `' G ` B ) e. om ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` suc ( `' G ` B ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` ( `' G ` B ) ) ) )
54	43, 48, 52, 53	syl3anc 1216	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` suc ( `' G ` B ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` ( `' G ` B ) ) ) )
55	5	fveq1i 5422	. . . . . . . 8 |- ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` suc ( `' G ` B ) )
56	5	fveq1i 5422	. . . . . . . . 9 |- ( R ` ( `' G ` B ) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` ( `' G ` B ) )
57	56	fveq2i 5424	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` ( `' G ` B ) ) )
58	54, 55, 57	3eqtr4g 2197	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) )
59	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 10188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
60	59	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
61	60, 52	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
62		1st2nd2 6073	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
63	61, 62	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
64	1	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> C e. ZZ )
65	2	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> A e. S )
66	3	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> S C_ T )
67	4	adantlr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
68	64, 65, 66, 67, 5, 52, 49	frecuzrdgg 10189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) = ( G ` ( `' G ` B ) ) )
69		f1ocnvfv2 5679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
70	50, 69	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( G ` ( `' G ` B ) ) = B )
71	68, 70	eqtrd 2172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) = B )
72	71	opeq1d 3711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. ( 1st ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
73	63, 72	eqtrd 2172	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) = <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
74	73	fveq2d 5425	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. ) )
75	58, 74	eqtrd 2172	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. ) )
76		df-ov 5777	. . . . . 6 |- ( B ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. )
77	75, 76	syl6eqr 2190	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = ( B ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
78		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> B e. ( ZZ>= ` C ) )
79		xp2nd 6064	. . . . . . . 8 |- ( ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) e. S )
80	61, 79	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) e. S )
81	66, 80	sseldd 3098	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) e. T )
82		peano2uz 9378	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` C ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
83	82	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) )
84	67, 78, 80	caovcld 5924	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) e. S )
85		opelxp 4569	. . . . . . 7 |- ( <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) <-> ( ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) e. S ) )
86	83, 84, 85	sylanbrc 413	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
87		oveq1 5781	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( x + 1 ) = ( B + 1 ) )
88		oveq1 5781	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( x F y ) = ( B F y ) )
89	87, 88	opeq12d 3713	. . . . . . 7 |- ( x = B -> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. = <. ( B + 1 ) , ( B F y ) >. )
90		oveq2 5782	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) -> ( B F y ) = ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
91	90	opeq2d 3712	. . . . . . 7 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) -> <. ( B + 1 ) , ( B F y ) >. = <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. )
92	89, 91, 38	ovmpog 5905	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) e. T /\ <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> ( B ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) = <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. )
93	78, 81, 86, 92	syl3anc 1216	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( B ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) = <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. )
94	77, 93	eqtrd 2172	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) = <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. )
95		ffun 5275	. . . . . . 7 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> Fun R )
96	60, 95	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> Fun R )
97		peano2 4509	. . . . . . . 8 |- ( ( `' G ` B ) e. om -> suc ( `' G ` B ) e. om )
98	52, 97	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> suc ( `' G ` B ) e. om )
99		fdm 5278	. . . . . . . 8 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> dom R = om )
100	60, 99	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> dom R = om )
101	98, 100	eleqtrrd 2219	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> suc ( `' G ` B ) e. dom R )
102		fvelrn 5551	. . . . . 6 |- ( ( Fun R /\ suc ( `' G ` B ) e. dom R ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) e. ran R )
103	96, 101, 102	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) e. ran R )
104	6	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> P = ran R )
105	103, 104	eleqtrrd 2219	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` suc ( `' G ` B ) ) e. P )
106	94, 105	eqeltrrd 2217	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. P )
107		funopfv 5461	. . 3 |- ( Fun P -> ( <. ( B + 1 ) , ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) >. e. P -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) ) )
108	10, 106, 107	sylc 62	. 2 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
109	52, 100	eleqtrrd 2219	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( `' G ` B ) e. dom R )
110		fvelrn 5551	. . . . . . 7 |- ( ( Fun R /\ ( `' G ` B ) e. dom R ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
111	96, 109, 110	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. ran R )
112	111, 104	eleqtrrd 2219	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( R ` ( `' G ` B ) ) e. P )
113	73, 112	eqeltrrd 2217	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. P )
114		funopfv 5461	. . . 4 |- ( Fun P -> ( <. B , ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) >. e. P -> ( P ` B ) = ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
115	10, 113, 114	sylc 62	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` B ) = ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) )
116	115	oveq2d 5790	. 2 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( B F ( P ` B ) ) = ( B F ( 2nd ` ( R ` ( `' G ` B ) ) ) ) )
117	108, 116	eqtr4d 2175	1 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( P ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   C_ wss 3071   <.cop 3530   |-> cmpt 3989   suc csuc 4287   omcom 4504   X. cxp 4537   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   ran crn 4540   Fun wfun 5117   -->wf 5119   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776   1stc1st 6036   2ndc2nd 6037  freccfrec 6287   1c1 7621   + caddc 7623   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by:  frecuzrdgsuct  10197