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Theorem frecuzrdgsuctlem 9557
Description: Successor value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 9533 for the description of  G as the mapping from  om to  ( ZZ>= `  C ). (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecuzrdgrclt.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frecuzrdgrclt.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
frecuzrdgrclt.t  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
frecuzrdgrclt.f  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
frecuzrdgrclt.r  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
frecuzrdgsuctlem.g  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frecuzrdgsuctlem.ran  |-  ( ph  ->  P  =  ran  R
)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgsuctlem  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( P `  ( B  +  1 ) )  =  ( B F ( P `
 B ) ) )
Distinct variable groups:    x, C, y   
x, F, y    x, S, y    x, T, y    ph, x, y    x, B, y    x, G, y   
x, R, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdgsuctlem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgrclt.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frecuzrdgrclt.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
3 frecuzrdgrclt.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
4 frecuzrdgrclt.f . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
5 frecuzrdgrclt.r . . . . . 6  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
6 frecuzrdgsuctlem.ran . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  =  ran  R
)
71, 2, 3, 4, 5, 6frecuzrdgtclt 9555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P : ( ZZ>= `  C ) --> S )
87adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  P :
( ZZ>= `  C ) --> S )
9 ffun 5099 . . . 4  |-  ( P : ( ZZ>= `  C
) --> S  ->  Fun  P )
108, 9syl 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  Fun  P )
11 1st2nd2 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ( ZZ>= `  C )  X.  S
)  ->  z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
1211adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  /\  z  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )  ->  z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
1312fveq2d 5233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  /\  z  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )  ->  ( (
x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x F y ) >. ) `  z )  =  ( ( x  e.  (
ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) `  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z )
>. ) )
14 df-ov 5566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  z ) ( x  e.  (
ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ( 2nd `  z
) )  =  ( ( x  e.  (
ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) `  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z )
>. )
1513, 14syl6eqr 2133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  /\  z  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )  ->  ( (
x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x F y ) >. ) `  z )  =  ( ( 1st `  z
) ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ( 2nd `  z
) ) )
16 xp1st 5843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( ZZ>= `  C )  X.  S
)  ->  ( 1st `  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) )
1716adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  /\  z  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )  ->  ( 1st `  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) )
183ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  /\  z  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )  ->  S  C_  T
)
19 xp2nd 5844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ( ZZ>= `  C )  X.  S
)  ->  ( 2nd `  z )  e.  S
)
2019adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  /\  z  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  S
)
2118, 20sseldd 3009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  /\  z  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  T
)
22 peano2uz 8804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1st `  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( ( 1st `  z )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  C ) )
2317, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  /\  z  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )  ->  ( ( 1st `  z )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  C ) )
24 oveq2 5571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( 2nd `  z
)  ->  ( ( 1st `  z ) F y )  =  ( ( 1st `  z
) F ( 2nd `  z ) ) )
2524eleq1d 2151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( 2nd `  z
)  ->  ( (
( 1st `  z
) F y )  e.  S  <->  ( ( 1st `  z ) F ( 2nd `  z
) )  e.  S
) )
26 oveq1 5570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( 1st `  z
)  ->  ( x F y )  =  ( ( 1st `  z
) F y ) )
2726eleq1d 2151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( 1st `  z
)  ->  ( (
x F y )  e.  S  <->  ( ( 1st `  z ) F y )  e.  S
) )
2827ralbidv 2373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 1st `  z
)  ->  ( A. y  e.  S  (
x F y )  e.  S  <->  A. y  e.  S  ( ( 1st `  z ) F y )  e.  S
) )
294ralrimivva 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  C ) A. y  e.  S  (
x F y )  e.  S )
3029ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  /\  z  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )  ->  A. x  e.  ( ZZ>= `  C ) A. y  e.  S  ( x F y )  e.  S )
3128, 30, 17rspcdva 2715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  /\  z  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )  ->  A. y  e.  S  ( ( 1st `  z ) F y )  e.  S
)
3225, 31, 20rspcdva 2715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  /\  z  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )  ->  ( ( 1st `  z ) F ( 2nd `  z
) )  e.  S
)
33 opelxpi 4422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 1st `  z
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  C
)  /\  ( ( 1st `  z ) F ( 2nd `  z
) )  e.  S
)  ->  <. ( ( 1st `  z )  +  1 ) ,  ( ( 1st `  z
) F ( 2nd `  z ) ) >.  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )
3423, 32, 33syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  /\  z  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )  ->  <. ( ( 1st `  z )  +  1 ) ,  ( ( 1st `  z
) F ( 2nd `  z ) ) >.  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )
35 oveq1 5570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( 1st `  z
)  ->  ( x  +  1 )  =  ( ( 1st `  z
)  +  1 ) )
3635, 26opeq12d 3598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 1st `  z
)  ->  <. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.  =  <. ( ( 1st `  z
)  +  1 ) ,  ( ( 1st `  z ) F y ) >. )
3724opeq2d 3597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( 2nd `  z
)  ->  <. ( ( 1st `  z )  +  1 ) ,  ( ( 1st `  z
) F y )
>.  =  <. ( ( 1st `  z )  +  1 ) ,  ( ( 1st `  z
) F ( 2nd `  z ) ) >.
)
38 eqid 2083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  C
) ,  y  e.  T  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x F y )
>. )  =  (
x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x F y ) >. )
3936, 37, 38ovmpt2g 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1st `  z
)  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  ( 2nd `  z )  e.  T  /\  <. (
( 1st `  z
)  +  1 ) ,  ( ( 1st `  z ) F ( 2nd `  z ) ) >.  e.  (
( ZZ>= `  C )  X.  S ) )  -> 
( ( 1st `  z
) ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ( 2nd `  z
) )  =  <. ( ( 1st `  z
)  +  1 ) ,  ( ( 1st `  z ) F ( 2nd `  z ) ) >. )
4017, 21, 34, 39syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  /\  z  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )  ->  ( ( 1st `  z ) ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x F y ) >. )
( 2nd `  z
) )  =  <. ( ( 1st `  z
)  +  1 ) ,  ( ( 1st `  z ) F ( 2nd `  z ) ) >. )
4115, 40eqtrd 2115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  /\  z  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )  ->  ( (
x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x F y ) >. ) `  z )  =  <. ( ( 1st `  z
)  +  1 ) ,  ( ( 1st `  z ) F ( 2nd `  z ) ) >. )
4241, 34eqeltrd 2159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  /\  z  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )  ->  ( (
x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x F y ) >. ) `  z )  e.  ( ( ZZ>= `  C )  X.  S ) )
4342ralrimiva 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  A. z  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) `  z )  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )
44 uzid 8766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  ( ZZ>= `  C )
)
451, 44syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ZZ>= `  C ) )
46 opelxpi 4422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  A  e.  S )  ->  <. C ,  A >.  e.  ( (
ZZ>= `  C )  X.  S ) )
4745, 2, 46syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
<. C ,  A >.  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )
4847adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  <. C ,  A >.  e.  ( (
ZZ>= `  C )  X.  S ) )
49 frecuzrdgsuctlem.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
501, 49frec2uzf1od 9540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
)
51 f1ocnvdm 5472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  C ) )  ->  ( `' G `  B )  e.  om )
5250, 51sylan 277 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( `' G `  B )  e.  om )
53 frecsuc 6076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z  e.  ( ( ZZ>= `  C )  X.  S ) ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x F y ) >. ) `  z )  e.  ( ( ZZ>= `  C )  X.  S )  /\  <. C ,  A >.  e.  ( ( ZZ>= `  C )  X.  S )  /\  ( `' G `  B )  e.  om )  -> 
(frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C
) ,  y  e.  T  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x F y )
>. ) ,  <. C ,  A >. ) `  suc  ( `' G `  B ) )  =  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x F y ) >. ) `  (frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C
) ,  y  e.  T  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x F y )
>. ) ,  <. C ,  A >. ) `  ( `' G `  B ) ) ) )
5443, 48, 52, 53syl3anc 1170 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  (frec (
( x  e.  (
ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. ) `  suc  ( `' G `  B ) )  =  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x F y ) >. ) `  (frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C
) ,  y  e.  T  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x F y )
>. ) ,  <. C ,  A >. ) `  ( `' G `  B ) ) ) )
555fveq1i 5230 . . . . . . . 8  |-  ( R `
 suc  ( `' G `  B )
)  =  (frec ( ( x  e.  (
ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. ) `  suc  ( `' G `  B ) )
565fveq1i 5230 . . . . . . . . 9  |-  ( R `
 ( `' G `  B ) )  =  (frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C
) ,  y  e.  T  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x F y )
>. ) ,  <. C ,  A >. ) `  ( `' G `  B ) )
5756fveq2i 5232 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x F y ) >. ) `  ( R `  ( `' G `  B ) ) )  =  ( ( x  e.  (
ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) `  (frec (
( x  e.  (
ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. ) `  ( `' G `  B ) ) )
5854, 55, 573eqtr4g 2140 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( R `  suc  ( `' G `  B ) )  =  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) )
591, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrclt 9549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R : om --> ( (
ZZ>= `  C )  X.  S ) )
6059adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  R : om
--> ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )
6160, 52ffvelrnd 5355 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( R `  ( `' G `  B ) )  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )
62 1st2nd2 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R `  ( `' G `  B ) )  e.  ( (
ZZ>= `  C )  X.  S )  ->  ( R `  ( `' G `  B )
)  =  <. ( 1st `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) ,  ( 2nd `  ( R `
 ( `' G `  B ) ) )
>. )
6361, 62syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( R `  ( `' G `  B ) )  = 
<. ( 1st `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) ,  ( 2nd `  ( R `
 ( `' G `  B ) ) )
>. )
641adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  C  e.  ZZ )
652adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  A  e.  S )
663adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  S  C_  T
)
674adantlr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
6864, 65, 66, 67, 5, 52, 49frecuzrdgg 9550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( 1st `  ( R `  ( `' G `  B ) ) )  =  ( G `  ( `' G `  B ) ) )
69 f1ocnvfv2 5469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  C ) )  ->  ( G `  ( `' G `  B ) )  =  B )
7050, 69sylan 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( G `  ( `' G `  B ) )  =  B )
7168, 70eqtrd 2115 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( 1st `  ( R `  ( `' G `  B ) ) )  =  B )
7271opeq1d 3596 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  <. ( 1st `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) ,  ( 2nd `  ( R `
 ( `' G `  B ) ) )
>.  =  <. B , 
( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) >. )
7363, 72eqtrd 2115 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( R `  ( `' G `  B ) )  = 
<. B ,  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) >. )
7473fveq2d 5233 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( (
x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x F y ) >. ) `  ( R `  ( `' G `  B ) ) )  =  ( ( x  e.  (
ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) `  <. B , 
( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) >. )
)
7558, 74eqtrd 2115 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( R `  suc  ( `' G `  B ) )  =  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) `  <. B , 
( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) >. )
)
76 df-ov 5566 . . . . . 6  |-  ( B ( x  e.  (
ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) )  =  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) `  <. B , 
( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) >. )
7775, 76syl6eqr 2133 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( R `  suc  ( `' G `  B ) )  =  ( B ( x  e.  ( ZZ>= `  C
) ,  y  e.  T  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x F y )
>. ) ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) ) )
78 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)
79 xp2nd 5844 . . . . . . . 8  |-  ( ( R `  ( `' G `  B ) )  e.  ( (
ZZ>= `  C )  X.  S )  ->  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) )  e.  S
)
8061, 79syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) )  e.  S
)
8166, 80sseldd 3009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) )  e.  T
)
82 peano2uz 8804 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
8382adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
8467, 78, 80caovcld 5705 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( B F ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) )  e.  S )
85 opelxp 4420 . . . . . . 7  |-  ( <.
( B  +  1 ) ,  ( B F ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) ) >.  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S )  <-> 
( ( B  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  C )  /\  ( B F ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) )  e.  S ) )
8683, 84, 85sylanbrc 408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  <. ( B  +  1 ) ,  ( B F ( 2nd `  ( R `
 ( `' G `  B ) ) ) ) >.  e.  (
( ZZ>= `  C )  X.  S ) )
87 oveq1 5570 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
x  +  1 )  =  ( B  + 
1 ) )
88 oveq1 5570 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
x F y )  =  ( B F y ) )
8987, 88opeq12d 3598 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.  =  <. ( B  +  1 ) ,  ( B F y ) >. )
90 oveq2 5571 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) )  ->  ( B F y )  =  ( B F ( 2nd `  ( R `
 ( `' G `  B ) ) ) ) )
9190opeq2d 3597 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) )  ->  <. ( B  +  1 ) ,  ( B F y ) >.  =  <. ( B  +  1 ) ,  ( B F ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) ) >.
)
9289, 91, 38ovmpt2g 5686 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) )  e.  T  /\  <. ( B  + 
1 ) ,  ( B F ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) ) >.  e.  ( ( ZZ>= `  C
)  X.  S ) )  ->  ( B
( x  e.  (
ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) )  = 
<. ( B  +  1 ) ,  ( B F ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) ) >.
)
9378, 81, 86, 92syl3anc 1170 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( B
( x  e.  (
ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) )  = 
<. ( B  +  1 ) ,  ( B F ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) ) >.
)
9477, 93eqtrd 2115 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( R `  suc  ( `' G `  B ) )  = 
<. ( B  +  1 ) ,  ( B F ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) ) >.
)
95 ffun 5099 . . . . . . 7  |-  ( R : om --> ( (
ZZ>= `  C )  X.  S )  ->  Fun  R )
9660, 95syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  Fun  R )
97 peano2 4364 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' G `  B )  e.  om  ->  suc  ( `' G `  B )  e.  om )
9852, 97syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  suc  ( `' G `  B )  e.  om )
99 fdm 5101 . . . . . . . 8  |-  ( R : om --> ( (
ZZ>= `  C )  X.  S )  ->  dom  R  =  om )
10060, 99syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  dom  R  =  om )
10198, 100eleqtrrd 2162 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  suc  ( `' G `  B )  e.  dom  R )
102 fvelrn 5350 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  R  /\  suc  ( `' G `  B )  e.  dom  R )  ->  ( R `  suc  ( `' G `  B ) )  e. 
ran  R )
10396, 101, 102syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( R `  suc  ( `' G `  B ) )  e. 
ran  R )
1046adantr 270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  P  =  ran  R )
105103, 104eleqtrrd 2162 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( R `  suc  ( `' G `  B ) )  e.  P )
10694, 105eqeltrrd 2160 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  <. ( B  +  1 ) ,  ( B F ( 2nd `  ( R `
 ( `' G `  B ) ) ) ) >.  e.  P
)
107 funopfv 5265 . . 3  |-  ( Fun 
P  ->  ( <. ( B  +  1 ) ,  ( B F ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) ) >.  e.  P  ->  ( P `
 ( B  + 
1 ) )  =  ( B F ( 2nd `  ( R `
 ( `' G `  B ) ) ) ) ) )
10810, 106, 107sylc 61 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( P `  ( B  +  1 ) )  =  ( B F ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) ) )
10952, 100eleqtrrd 2162 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( `' G `  B )  e.  dom  R )
110 fvelrn 5350 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  R  /\  ( `' G `  B )  e.  dom  R )  ->  ( R `  ( `' G `  B ) )  e.  ran  R
)
11196, 109, 110syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( R `  ( `' G `  B ) )  e. 
ran  R )
112111, 104eleqtrrd 2162 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( R `  ( `' G `  B ) )  e.  P )
11373, 112eqeltrrd 2160 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  <. B , 
( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) >.  e.  P
)
114 funopfv 5265 . . . 4  |-  ( Fun 
P  ->  ( <. B ,  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) >.  e.  P  ->  ( P `  B
)  =  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) ) )
11510, 113, 114sylc 61 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( P `  B )  =  ( 2nd `  ( R `
 ( `' G `  B ) ) ) )
116115oveq2d 5579 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( B F ( P `  B ) )  =  ( B F ( 2nd `  ( R `
 ( `' G `  B ) ) ) ) )
117108, 116eqtr4d 2118 1  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( P `  ( B  +  1 ) )  =  ( B F ( P `
 B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353    C_ wss 2982   <.cop 3419    |-> cmpt 3859   suc csuc 4148   omcom 4359    X. cxp 4389   `'ccnv 4390   dom cdm 4391   ran crn 4392   Fun wfun 4946   -->wf 4948   -1-1-onto->wf1o 4951   ` cfv 4952  (class class class)co 5563    |-> cmpt2 5565   1stc1st 5816   2ndc2nd 5817  freccfrec 6059   1c1 7096    + caddc 7098   ZZcz 8484   ZZ>=cuz 8752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753
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