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Theorem frirrg 4113
Description: A well-founded relation is irreflexive. This is the case where  A exists. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
frirrg  |-  ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  ->  -.  B R B )

Proof of Theorem frirrg
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . 4  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  A  C_  ( A  \  { B }
) )  ->  A  C_  ( A  \  { B } ) )
2 simpl3 944 . . . 4  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  A  C_  ( A  \  { B }
) )  ->  B  e.  A )
31, 2sseldd 3001 . . 3  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  A  C_  ( A  \  { B }
) )  ->  B  e.  ( A  \  { B } ) )
4 neldifsnd 3528 . . 3  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  A  C_  ( A  \  { B }
) )  ->  -.  B  e.  ( A  \  { B } ) )
53, 4pm2.65da 620 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  ->  -.  A  C_  ( A  \  { B }
) )
6 simplr 497 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A )  /\  A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) ) )  ->  x  e.  A )
7 simpll3 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  B R B )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  A )
87ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  B  e.  A )
9 simplr 497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) )
10 simplr 497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  B R B )  /\  x  e.  A )  ->  B R B )
1110ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  B R B )
12 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  x  =  B )
1311, 12breqtrrd 3819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  B R x )
14 breq1 3796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
y R x  <->  B R x ) )
15 eleq1 2142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  ( A 
\  { B }
)  <->  B  e.  ( A  \  { B }
) ) )
1614, 15imbi12d 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) )  <->  ( B R x  ->  B  e.  ( A  \  { B } ) ) ) )
1716rspcv 2698 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( B R x  ->  B  e.  ( A  \  { B } ) ) ) )
188, 9, 13, 17syl3c 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  B  e.  ( A  \  { B } ) )
19 neldifsnd 3528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  -.  B  e.  ( A  \  { B } ) )
2018, 19pm2.65da 620 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A )  /\  A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) ) )  ->  -.  x  =  B
)
21 velsn 3423 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { B }  <->  x  =  B )
2220, 21sylnibr 635 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A )  /\  A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) ) )  ->  -.  x  e.  { B } )
236, 22eldifd 2984 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  /\  B R B )  /\  x  e.  A )  /\  A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) ) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) )
2423ex 113 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  B R B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) ) )
2524ralrimiva 2435 . . 3  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  B R B )  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) ) )
26 df-frind 4095 . . . . . . . 8  |-  ( R  Fr  A  <->  A. sFrFor  R A s )
27 df-frfor 4094 . . . . . . . . 9  |-  (FrFor  R A s  <->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s ) )
2827albii 1400 . . . . . . . 8  |-  ( A. sFrFor  R A s  <->  A. s
( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s ) )
2926, 28bitri 182 . . . . . . 7  |-  ( R  Fr  A  <->  A. s
( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s ) )
3029biimpi 118 . . . . . 6  |-  ( R  Fr  A  ->  A. s
( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s ) )
31303ad2ant1 960 . . . . 5  |-  ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  ->  A. s ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s ) )
32 difexg 3927 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  \  { B }
)  e.  _V )
33 eleq2 2143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( A  \  { B } )  -> 
( y  e.  s  <-> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) ) )
3433imbi2d 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( A  \  { B } )  -> 
( ( y R x  ->  y  e.  s )  <->  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) ) )
3534ralbidv 2369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( A  \  { B } )  -> 
( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) ) ) )
36 eleq2 2143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( A  \  { B } )  -> 
( x  e.  s  <-> 
x  e.  ( A 
\  { B }
) ) )
3735, 36imbi12d 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( A  \  { B } )  -> 
( ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  <->  ( A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) ) ) )
3837ralbidv 2369 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( A  \  { B } )  -> 
( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) ) ) )
39 sseq2 3022 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( A  \  { B } )  -> 
( A  C_  s  <->  A 
C_  ( A  \  { B } ) ) )
4038, 39imbi12d 232 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( A  \  { B } )  -> 
( ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s
)  <->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  ( A 
\  { B }
) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  A  C_  ( A  \  { B } ) ) ) )
4140spcgv 2686 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  { B } )  e.  _V  ->  ( A. s ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s )  ->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  A  C_  ( A  \  { B }
) ) ) )
4232, 41syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. s ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
y R x  -> 
y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s
)  ->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  A  C_  ( A  \  { B }
) ) ) )
43423ad2ant2 961 . . . . 5  |-  ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  ->  ( A. s ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  s )  ->  x  e.  s )  ->  A  C_  s )  ->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  A  C_  ( A  \  { B }
) ) ) )
4431, 43mpd 13 . . . 4  |-  ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  A  C_  ( A  \  { B }
) ) )
4544adantr 270 . . 3  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  B R B )  ->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  y  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  A  C_  ( A  \  { B }
) ) )
4625, 45mpd 13 . 2  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A
)  /\  B R B )  ->  A  C_  ( A  \  { B } ) )
475, 46mtand 624 1  |-  ( ( R  Fr  A  /\  A  e.  V  /\  B  e.  A )  ->  -.  B R B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920   A.wal 1283    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   _Vcvv 2602    \ cdif 2971    C_ wss 2974   {csn 3406   class class class wbr 3793  FrFor wfrfor 4090    Fr wfr 4091
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-frfor 4094  df-frind 4095
This theorem is referenced by:  efrirr  4116  wepo  4122  wetriext  4327
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