ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsnunf Unicode version

Theorem fsnunf 5390
Description: Adjoining a point to a function gives a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsnunf  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> T )

Proof of Theorem fsnunf
StepHypRef Expression
1 simp1 915 . . 3  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  F : S --> T )
2 simp2l 941 . . . . 5  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  X  e.  V )
3 simp3 917 . . . . 5  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  Y  e.  T )
4 f1osng 5195 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  T )  ->  { <. X ,  Y >. } : { X }
-1-1-onto-> { Y } )
52, 3, 4syl2anc 397 . . . 4  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  { <. X ,  Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } )
6 f1of 5154 . . . 4  |-  ( {
<. X ,  Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y }  ->  { <. X ,  Y >. } : { X } --> { Y } )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  { <. X ,  Y >. } : { X } --> { Y } )
8 simp2r 942 . . . 4  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  -.  X  e.  S )
9 disjsn 3460 . . . 4  |-  ( ( S  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  S )
108, 9sylibr 141 . . 3  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( S  i^i  { X }
)  =  (/) )
11 fun 5091 . . 3  |-  ( ( ( F : S --> T  /\  { <. X ,  Y >. } : { X } --> { Y }
)  /\  ( S  i^i  { X } )  =  (/) )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> ( T  u.  { Y }
) )
121, 7, 10, 11syl21anc 1145 . 2  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> ( T  u.  { Y }
) )
13 snssi 3536 . . . . 5  |-  ( Y  e.  T  ->  { Y }  C_  T )
14133ad2ant3 938 . . . 4  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  { Y }  C_  T )
15 ssequn2 3144 . . . 4  |-  ( { Y }  C_  T  <->  ( T  u.  { Y } )  =  T )
1614, 15sylib 131 . . 3  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( T  u.  { Y } )  =  T )
17 feq3 5060 . . 3  |-  ( ( T  u.  { Y } )  =  T  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> ( T  u.  { Y }
)  <->  ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X }
) --> T ) )
1816, 17syl 14 . 2  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X }
) --> ( T  u.  { Y } )  <->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> T ) )
1912, 18mpbid 139 1  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409    u. cun 2943    i^i cin 2944    C_ wss 2945   (/)c0 3252   {csn 3403   <.cop 3406   -->wf 4926   -1-1-onto->wf1o 4929
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator