ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsnunfv Unicode version

Theorem fsnunfv 5416
Description: Recover the added point from a point-added function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by NM, 18-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
fsnunfv  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) `  X )  =  Y )

Proof of Theorem fsnunfv
StepHypRef Expression
1 dmres 4681 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( F  |`  { X }
)  =  ( { X }  i^i  dom  F )
2 incom 3175 . . . . . . . . 9  |-  ( { X }  i^i  dom  F )  =  ( dom 
F  i^i  { X } )
31, 2eqtri 2103 . . . . . . . 8  |-  dom  ( F  |`  { X }
)  =  ( dom 
F  i^i  { X } )
4 disjsn 3473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  F  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  dom  F )
54biimpri 131 . . . . . . . 8  |-  ( -.  X  e.  dom  F  ->  ( dom  F  i^i  { X } )  =  (/) )
63, 5syl5eq 2127 . . . . . . 7  |-  ( -.  X  e.  dom  F  ->  dom  ( F  |`  { X } )  =  (/) )
763ad2ant3 962 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  dom  ( F  |`  { X } )  =  (/) )
8 relres 4688 . . . . . . 7  |-  Rel  ( F  |`  { X }
)
9 reldm0 4602 . . . . . . 7  |-  ( Rel  ( F  |`  { X } )  ->  (
( F  |`  { X } )  =  (/)  <->  dom  ( F  |`  { X } )  =  (/) ) )
108, 9ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  { X } )  =  (/)  <->  dom  ( F  |`  { X } )  =  (/) )
117, 10sylibr 132 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( F  |` 
{ X } )  =  (/) )
12 fnsng 4998 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  { <. X ,  Y >. }  Fn  { X } )
13123adant3 959 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  { <. X ,  Y >. }  Fn  { X } )
14 fnresdm 5060 . . . . . 6  |-  ( {
<. X ,  Y >. }  Fn  { X }  ->  ( { <. X ,  Y >. }  |`  { X } )  =  { <. X ,  Y >. } )
1513, 14syl 14 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( { <. X ,  Y >. }  |`  { X } )  =  { <. X ,  Y >. } )
1611, 15uneq12d 3138 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  { X }
)  u.  ( {
<. X ,  Y >. }  |`  { X } ) )  =  ( (/)  u. 
{ <. X ,  Y >. } ) )
17 resundir 4675 . . . 4  |-  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  |`  { X } )  =  ( ( F  |`  { X } )  u.  ( { <. X ,  Y >. }  |`  { X } ) )
18 uncom 3127 . . . . 5  |-  ( (/)  u. 
{ <. X ,  Y >. } )  =  ( { <. X ,  Y >. }  u.  (/) )
19 un0 3295 . . . . 5  |-  ( {
<. X ,  Y >. }  u.  (/) )  =  { <. X ,  Y >. }
2018, 19eqtr2i 2104 . . . 4  |-  { <. X ,  Y >. }  =  ( (/)  u.  { <. X ,  Y >. } )
2116, 17, 203eqtr4g 2140 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  |`  { X } )  =  { <. X ,  Y >. } )
2221fveq1d 5232 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  |`  { X } ) `  X
)  =  ( {
<. X ,  Y >. } `
 X ) )
23 snidg 3442 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  { X } )
24233ad2ant1 960 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  X  e.  { X } )
25 fvres 5251 . . 3  |-  ( X  e.  { X }  ->  ( ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  |`  { X } ) `  X )  =  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) `  X ) )
2624, 25syl 14 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  |`  { X } ) `  X
)  =  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) `
 X ) )
27 fvsng 5412 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  ( { <. X ,  Y >. } `  X
)  =  Y )
28273adant3 959 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( { <. X ,  Y >. } `
 X )  =  Y )
2922, 26, 283eqtr3d 2123 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) `  X )  =  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434    u. cun 2981    i^i cin 2982   (/)c0 3268   {csn 3417   <.cop 3420   dom cdm 4392    |` cres 4394   Rel wrel 4397    Fn wfn 4948   ` cfv 4953
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-res 4404  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-fv 4961
This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  5995  tfr1onlemsucaccv  6011  tfrcllemsucaccv  6024  hashinfom  9838
  Copyright terms: Public domain W3C validator