Theorem fsnunres 5622

Description: Recover the original function from a point-added function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunres	|- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` S ) = F )

Proof of Theorem fsnunres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresdm 5232	. . . 4 |- ( F Fn S -> ( F |` S ) = F )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( F |` S ) = F )
3		ressnop0 5601	. . . 4 |- ( -. X e. S -> ( { <. X , Y >. } |` S ) = (/) )
4	3	adantl 275	. . 3 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( { <. X , Y >. } |` S ) = (/) )
5	2, 4	uneq12d 3231	. 2 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( ( F |` S ) u. ( { <. X , Y >. } |` S ) ) = ( F u. (/) ) )
6		resundir 4833	. 2 |- ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` S ) = ( ( F |` S ) u. ( { <. X , Y >. } |` S ) )
7		un0 3396	. . 3 |- ( F u. (/) ) = F
8	7	eqcomi 2143	. 2 |- F = ( F u. (/) )
9	5, 6, 8	3eqtr4g 2197	1 |- ( ( F Fn S /\ -. X e. S ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` S ) = F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   u. cun 3069   (/)c0 3363   {csn 3527   <.cop 3530   |` cres 4541   Fn wfn 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-dm 4549  df-res 4551  df-fun 5125  df-fn 5126

This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  6222  tfr1onlemsucaccv  6238  tfrcllemsucaccv  6251