Theorem fun11 5185

Description: Two ways of stating that A is one-to-one (but not necessarily a function). Each side is equivalent to Definition 6.4(3) of [TakeutiZaring] p. 24, who use the notation "Un₂ (A)" for one-to-one (but not necessarily a function). (Contributed by NM, 17-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fun11	|- ( ( Fun `' `' A /\ Fun `' A ) <-> A. x A. y A. z A. w ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, A

Proof of Theorem fun11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfbi2 385	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z <-> y = w ) <-> ( ( x = z -> y = w ) /\ ( y = w -> x = z ) ) )
2	1	imbi2i 225	. . . . . . 7 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> ( ( x A y /\ z A w ) -> ( ( x = z -> y = w ) /\ ( y = w -> x = z ) ) ) )
3		pm4.76 593	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z -> y = w ) ) /\ ( ( x A y /\ z A w ) -> ( y = w -> x = z ) ) ) <-> ( ( x A y /\ z A w ) -> ( ( x = z -> y = w ) /\ ( y = w -> x = z ) ) ) )
4		bi2.04 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z -> y = w ) ) <-> ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) )
5		bi2.04 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( y = w -> x = z ) ) <-> ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) )
6	4, 5	anbi12i 455	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z -> y = w ) ) /\ ( ( x A y /\ z A w ) -> ( y = w -> x = z ) ) ) <-> ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
7	2, 3, 6	3bitr2i 207	. . . . . 6 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
8	7	2albii 1447	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> A. x A. y ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
9		19.26-2 1458	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) <-> ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ A. x A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
10		alcom 1454	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> A. y A. x ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) )
11		nfv 1508	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w )
12		breq1 3927	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( x A y <-> z A y ) )
13	12	anbi1d 460	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) <-> ( z A y /\ z A w ) ) )
14	13	imbi1d 230	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) <-> ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) ) )
15	11, 14	equsal 1705	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
16	15	albii 1446	. . . . . . 7 |- ( A. y A. x ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
17	10, 16	bitri 183	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
18		nfv 1508	. . . . . . . 8 |- F/ y ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z )
19		breq2 3928	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( x A y <-> x A w ) )
20	19	anbi1d 460	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) <-> ( x A w /\ z A w ) ) )
21	20	imbi1d 230	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) <-> ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
22	18, 21	equsal 1705	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
23	22	albii 1446	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
24	17, 23	anbi12i 455	. . . . 5 |- ( ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ A. x A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) <-> ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
25	8, 9, 24	3bitri 205	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
26	25	2albii 1447	. . 3 |- ( A. z A. w A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> A. z A. w ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
27		19.26-2 1458	. . 3 |- ( A. z A. w ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> ( A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
28	26, 27	bitr2i 184	. 2 |- ( ( A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> A. z A. w A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )
29		fun2cnv 5182	. . . 4 |- ( Fun `' `' A <-> A. z E* y z A y )
30		breq2 3928	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( z A y <-> z A w ) )
31	30	mo4 2058	. . . . 5 |- ( E* y z A y <-> A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
32	31	albii 1446	. . . 4 |- ( A. z E* y z A y <-> A. z A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
33		alcom 1454	. . . . 5 |- ( A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) <-> A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
34	33	albii 1446	. . . 4 |- ( A. z A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) <-> A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
35	29, 32, 34	3bitri 205	. . 3 |- ( Fun `' `' A <-> A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
36		funcnv2 5178	. . . 4 |- ( Fun `' A <-> A. w E* x x A w )
37		breq1 3927	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x A w <-> z A w ) )
38	37	mo4 2058	. . . . 5 |- ( E* x x A w <-> A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
39	38	albii 1446	. . . 4 |- ( A. w E* x x A w <-> A. w A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
40		alcom 1454	. . . . . 6 |- ( A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. z A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
41	40	albii 1446	. . . . 5 |- ( A. w A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. w A. z A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
42		alcom 1454	. . . . 5 |- ( A. w A. z A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
43	41, 42	bitri 183	. . . 4 |- ( A. w A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
44	36, 39, 43	3bitri 205	. . 3 |- ( Fun `' A <-> A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
45	35, 44	anbi12i 455	. 2 |- ( ( Fun `' `' A /\ Fun `' A ) <-> ( A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
46		alrot4 1462	. 2 |- ( A. x A. y A. z A. w ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> A. z A. w A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )
47	28, 45, 46	3bitr4i 211	1 |- ( ( Fun `' `' A /\ Fun `' A ) <-> A. x A. y A. z A. w ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   E*wmo 1998   class class class wbr 3924   `'ccnv 4533   Fun wfun 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-fun 5120

This theorem is referenced by: (None)