Theorem funbrfv2b 5466

Description: Function value in terms of a binary relation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funbrfv2b	|- ( Fun F -> ( A F B <-> ( A e. dom F /\ ( F ` A ) = B ) ) )

Proof of Theorem funbrfv2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 5140	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
2		releldm 4774	. . . . 5 |- ( ( Rel F /\ A F B ) -> A e. dom F )
3	2	ex 114	. . . 4 |- ( Rel F -> ( A F B -> A e. dom F ) )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( Fun F -> ( A F B -> A e. dom F ) )
5	4	pm4.71rd 391	. 2 |- ( Fun F -> ( A F B <-> ( A e. dom F /\ A F B ) ) )
6		funbrfvb 5464	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( ( F ` A ) = B <-> A F B ) )
7	6	pm5.32da 447	. 2 |- ( Fun F -> ( ( A e. dom F /\ ( F ` A ) = B ) <-> ( A e. dom F /\ A F B ) ) )
8	5, 7	bitr4d 190	1 |- ( Fun F -> ( A F B <-> ( A e. dom F /\ ( F ` A ) = B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   Rel wrel 4544   Fun wfun 5117   ` cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  brtpos2  6148  xpcomco  6720