Theorem funcnv2 5183

Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 5184). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv2	|- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem funcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4917	. . 3 |- Rel `' A
2		dffun6 5137	. . 3 |- ( Fun `' A <-> ( Rel `' A /\ A. y E* x y `' A x ) )
3	1, 2	mpbiran 924	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x y `' A x )
4		vex 2689	. . . . 5 |- y e. _V
5		vex 2689	. . . . 5 |- x e. _V
6	4, 5	brcnv 4722	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
7	6	mobii 2036	. . 3 |- ( E* x y `' A x <-> E* x x A y )
8	7	albii 1446	. 2 |- ( A. y E* x y `' A x <-> A. y E* x x A y )
9	3, 8	bitri 183	1 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Syntax hints:   <-> wb 104   A.wal 1329   E*wmo 2000   class class class wbr 3929   `'ccnv 4538   Rel wrel 4544   Fun wfun 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-fun 5125

This theorem is referenced by:  funcnv  5184  fun2cnv  5187  fun11  5190  dff12  5327  1stconst  6118  2ndconst  6119