ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funcnvsn Unicode version

Theorem funcnvsn 4973
Description: The converse singleton of an ordered pair is a function. This is equivalent to funsn 4976 via cnvsn 4831, but stating it this way allows us to skip the sethood assumptions on  A and  B. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
funcnvsn  |-  Fun  `' { <. A ,  B >. }

Proof of Theorem funcnvsn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 4731 . 2  |-  Rel  `' { <. A ,  B >. }
2 moeq 2739 . . . 4  |-  E* y 
y  =  A
3 vex 2577 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
4 vex 2577 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
53, 4brcnv 4546 . . . . . . 7  |-  ( x `' { <. A ,  B >. } y  <->  y { <. A ,  B >. } x )
6 df-br 3793 . . . . . . 7  |-  ( y { <. A ,  B >. } x  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. A ,  B >. } )
75, 6bitri 177 . . . . . 6  |-  ( x `' { <. A ,  B >. } y  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. A ,  B >. } )
8 elsni 3421 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
{ <. A ,  B >. }  ->  <. y ,  x >.  =  <. A ,  B >. )
94, 3opth1 4001 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  x >.  = 
<. A ,  B >.  -> 
y  =  A )
108, 9syl 14 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
{ <. A ,  B >. }  ->  y  =  A )
117, 10sylbi 118 . . . . 5  |-  ( x `' { <. A ,  B >. } y  ->  y  =  A )
1211moimi 1981 . . . 4  |-  ( E* y  y  =  A  ->  E* y  x `' { <. A ,  B >. } y )
132, 12ax-mp 7 . . 3  |-  E* y  x `' { <. A ,  B >. } y
1413ax-gen 1354 . 2  |-  A. x E* y  x `' { <. A ,  B >. } y
15 dffun6 4944 . 2  |-  ( Fun  `' { <. A ,  B >. }  <->  ( Rel  `' { <. A ,  B >. }  /\  A. x E* y  x `' { <. A ,  B >. } y ) )
161, 14, 15mpbir2an 860 1  |-  Fun  `' { <. A ,  B >. }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   A.wal 1257    = wceq 1259    e. wcel 1409   E*wmo 1917   {csn 3403   <.cop 3406   class class class wbr 3792   `'ccnv 4372   Rel wrel 4378   Fun wfun 4924
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-fun 4932
This theorem is referenced by:  funsng  4974
  Copyright terms: Public domain W3C validator