Theorem funfvex 5223

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	|- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 4940	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota y A F y )
2		funfveu 5219	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> E! y A F y )
3		euiotaex 4913	. . 3 |- ( E! y A F y -> ( iota y A F y ) e. _V )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( iota y A F y ) e. _V )
5	1, 4	syl5eqel 2166	1 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1434   E!weu 1942   _Vcvv 2602   class class class wbr 3793   dom cdm 4371   iotacio 4895   Fun wfun 4926   ` cfv 4932

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-sbc 2817  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5246  fvelrnb  5253  funimass4  5256  fvelimab  5261  fniinfv  5263  funfvdm  5268  dmfco  5273  fvco2  5274  eqfnfv  5297  fndmdif  5304  fndmin  5306  fvimacnvi  5313  fvimacnv  5314  funconstss  5317  fniniseg  5319  fniniseg2  5321  fnniniseg2  5322  rexsupp  5323  fvelrn  5330  rexrn  5336  ralrn  5337  dff3im  5344  fmptco  5362  fsn2  5369  fnressn  5381  resfunexg  5414  eufnfv  5421  funfvima3  5424  rexima  5426  ralima  5427  fniunfv  5433  elunirn  5437  dff13  5439  foeqcnvco  5461  f1eqcocnv  5462  isocnv2  5483  isoini  5488  f1oiso  5496  fnovex  5569  suppssof1  5759  offveqb  5761  1stexg  5825  2ndexg  5826  smoiso  5951  rdgtfr  6023  rdgruledefgg  6024  rdgivallem  6030  frectfr  6049  frecrdg  6057  en1  6346  fundmen  6353  fnfi  6446  ordiso2  6505  climshft2  10283