Theorem funfvima2 5650

Description: A function's value in an included preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 3-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
funfvima2	|- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) )

Proof of Theorem funfvima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3091	. . 3 |- ( A C_ dom F -> ( B e. A -> B e. dom F ) )
2		funfvima 5649	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) )
3	2	ex 114	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( B e. dom F -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) ) )
4	3	com23 78	. . . 4 |- ( Fun F -> ( B e. A -> ( B e. dom F -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) ) )
5	4	a2d 26	. . 3 |- ( Fun F -> ( ( B e. A -> B e. dom F ) -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) ) )
6	1, 5	syl5 32	. 2 |- ( Fun F -> ( A C_ dom F -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) ) )
7	6	imp 123	1 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   C_ wss 3071   dom cdm 4539   "cima 4542   Fun wfun 5117   ` cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  fnfvima  5652  phimullem  11901  qtopbasss  12690  tgqioo  12716