Theorem funinsn 5172

Description: A function based on the singleton of an ordered pair. Unlike funsng 5169, this holds even if A or B is a proper class. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
funinsn	|- Fun ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) )

Proof of Theorem funinsn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 3297	. . . 4 |- ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) C_ ( V X. W )
2		xpss 4647	. . . 4 |- ( V X. W ) C_ ( _V X. _V )
3	1, 2	sstri 3106	. . 3 |- ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) C_ ( _V X. _V )
4		df-rel 4546	. . 3 |- ( Rel ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) <-> ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) C_ ( _V X. _V ) )
5	3, 4	mpbir 145	. 2 |- Rel ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) )
6		elin 3259	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) <-> ( <. x , y >. e. { <. A , B >. } /\ <. x , y >. e. ( V X. W ) ) )
7	6	simplbi 272	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> <. x , y >. e. { <. A , B >. } )
8		elsni 3545	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. { <. A , B >. } -> <. x , y >. = <. A , B >. )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> <. x , y >. = <. A , B >. )
10		vex 2689	. . . . . . . 8 |- x e. _V
11		vex 2689	. . . . . . . 8 |- y e. _V
12	10, 11	opth 4159	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. = <. A , B >. <-> ( x = A /\ y = B ) )
13	9, 12	sylib 121	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> ( x = A /\ y = B ) )
14	13	simprd 113	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> y = B )
15		elin 3259	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) <-> ( <. x , z >. e. { <. A , B >. } /\ <. x , z >. e. ( V X. W ) ) )
16	15	simplbi 272	. . . . . . . 8 |- ( <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> <. x , z >. e. { <. A , B >. } )
17		elsni 3545	. . . . . . . 8 |- ( <. x , z >. e. { <. A , B >. } -> <. x , z >. = <. A , B >. )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> <. x , z >. = <. A , B >. )
19		vex 2689	. . . . . . . 8 |- z e. _V
20	10, 19	opth 4159	. . . . . . 7 |- ( <. x , z >. = <. A , B >. <-> ( x = A /\ z = B ) )
21	18, 20	sylib 121	. . . . . 6 |- ( <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> ( x = A /\ z = B ) )
22	21	simprd 113	. . . . 5 |- ( <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) -> z = B )
23		eqtr3 2159	. . . . 5 |- ( ( y = B /\ z = B ) -> y = z )
24	14, 22, 23	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) /\ <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) ) -> y = z )
25	24	gen2 1426	. . 3 |- A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) /\ <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) ) -> y = z )
26	25	ax-gen 1425	. 2 |- A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) /\ <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) ) -> y = z )
27		dffun4 5134	. 2 |- ( Fun ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) <-> ( Rel ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) /\ <. x , z >. e. ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) ) ) -> y = z ) ) )
28	5, 26, 27	mpbir2an 926	1 |- Fun ( { <. A , B >. } i^i ( V X. W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   i^i cin 3070   C_ wss 3071   {csn 3527   <.cop 3530   X. cxp 4537   Rel wrel 4544   Fun wfun 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-fun 5125

This theorem is referenced by: (None)