Theorem funmo 4967

Description: A function has at most one value for each argument. (Contributed by NM, 24-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funmo	|- ( Fun F -> E* y A F y )

Distinct variable groups:   y, A   y, F

Proof of Theorem funmo

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun6 4966	. . . . . 6 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x E* y x F y ) )
2	1	simplbi 268	. . . . 5 |- ( Fun F -> Rel F )
3		brrelex 4428	. . . . . 6 |- ( ( Rel F /\ A F y ) -> A e. _V )
4	3	ex 113	. . . . 5 |- ( Rel F -> ( A F y -> A e. _V ) )
5	2, 4	syl 14	. . . 4 |- ( Fun F -> ( A F y -> A e. _V ) )
6	5	ancrd 319	. . 3 |- ( Fun F -> ( A F y -> ( A e. _V /\ A F y ) ) )
7	6	alrimiv 1797	. 2 |- ( Fun F -> A. y ( A F y -> ( A e. _V /\ A F y ) ) )
8		breq1 3808	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( x F y <-> A F y ) )
9	8	mobidv 1979	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( E* y x F y <-> E* y A F y ) )
10	9	imbi2d 228	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( Fun F -> E* y x F y ) <-> ( Fun F -> E* y A F y ) ) )
11	1	simprbi 269	. . . . . 6 |- ( Fun F -> A. x E* y x F y )
12	11	19.21bi 1491	. . . . 5 |- ( Fun F -> E* y x F y )
13	10, 12	vtoclg 2667	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( Fun F -> E* y A F y ) )
14	13	com12 30	. . 3 |- ( Fun F -> ( A e. _V -> E* y A F y ) )
15		moanimv 2018	. . 3 |- ( E* y ( A e. _V /\ A F y ) <-> ( A e. _V -> E* y A F y ) )
16	14, 15	sylibr 132	. 2 |- ( Fun F -> E* y ( A e. _V /\ A F y ) )
17		moim 2007	. 2 |- ( A. y ( A F y -> ( A e. _V /\ A F y ) ) -> ( E* y ( A e. _V /\ A F y ) -> E* y A F y ) )
18	7, 16, 17	sylc 61	1 |- ( Fun F -> E* y A F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   A.wal 1283   = wceq 1285   e. wcel 1434   E*wmo 1944   _Vcvv 2610   class class class wbr 3805   Rel wrel 4396   Fun wfun 4946

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-fun 4954

This theorem is referenced by:  funeu  4976  funco  4990  imadif  5030  fneu  5054  dff3im  5364  shftfn  9913