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Theorem funmo 4967
Description: A function has at most one value for each argument. (Contributed by NM, 24-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
funmo  |-  ( Fun 
F  ->  E* y  A F y )
Distinct variable groups:    y, A    y, F

Proof of Theorem funmo
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffun6 4966 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  <->  ( Rel  F  /\  A. x E* y  x F y ) )
21simplbi 268 . . . . 5  |-  ( Fun 
F  ->  Rel  F )
3 brrelex 4428 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  F  /\  A F y )  ->  A  e.  _V )
43ex 113 . . . . 5  |-  ( Rel 
F  ->  ( A F y  ->  A  e.  _V ) )
52, 4syl 14 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( A F y  ->  A  e.  _V ) )
65ancrd 319 . . 3  |-  ( Fun 
F  ->  ( A F y  ->  ( A  e.  _V  /\  A F y ) ) )
76alrimiv 1797 . 2  |-  ( Fun 
F  ->  A. y
( A F y  ->  ( A  e. 
_V  /\  A F
y ) ) )
8 breq1 3808 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x F y  <->  A F
y ) )
98mobidv 1979 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( E* y  x F
y  <->  E* y  A F y ) )
109imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( Fun  F  ->  E* y  x F y )  <->  ( Fun  F  ->  E* y  A F y ) ) )
111simprbi 269 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  A. x E* y  x F
y )
121119.21bi 1491 . . . . 5  |-  ( Fun 
F  ->  E* y  x F y )
1310, 12vtoclg 2667 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Fun  F  ->  E* y  A F y ) )
1413com12 30 . . 3  |-  ( Fun 
F  ->  ( A  e.  _V  ->  E* y  A F y ) )
15 moanimv 2018 . . 3  |-  ( E* y ( A  e. 
_V  /\  A F
y )  <->  ( A  e.  _V  ->  E* y  A F y ) )
1614, 15sylibr 132 . 2  |-  ( Fun 
F  ->  E* y
( A  e.  _V  /\  A F y ) )
17 moim 2007 . 2  |-  ( A. y ( A F y  ->  ( A  e.  _V  /\  A F y ) )  -> 
( E* y ( A  e.  _V  /\  A F y )  ->  E* y  A F
y ) )
187, 16, 17sylc 61 1  |-  ( Fun 
F  ->  E* y  A F y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   A.wal 1283    = wceq 1285    e. wcel 1434   E*wmo 1944   _Vcvv 2610   class class class wbr 3805   Rel wrel 4396   Fun wfun 4946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-fun 4954
This theorem is referenced by:  funeu  4976  funco  4990  imadif  5030  fneu  5054  dff3im  5364  shftfn  9913
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