Theorem funopab 5153

Description: A class of ordered pairs is a function when there is at most one second member for each pair. (Contributed by NM, 16-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
funopab	|- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> A. x E* y ph )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem funopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 4661	. . 3 |- Rel { <. x , y >. | ph }
2		nfopab1 3992	. . . 4 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
3		nfopab2 3993	. . . 4 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
4	2, 3	dffun6f 5131	. . 3 |- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> ( Rel { <. x , y >. | ph } /\ A. x E* y x { <. x , y >. | ph } y ) )
5	1, 4	mpbiran 924	. 2 |- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> A. x E* y x { <. x , y >. | ph } y )
6		df-br 3925	. . . . 5 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } )
7		opabid 4174	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
8	6, 7	bitri 183	. . . 4 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> ph )
9	8	mobii 2034	. . 3 |- ( E* y x { <. x , y >. | ph } y <-> E* y ph )
10	9	albii 1446	. 2 |- ( A. x E* y x { <. x , y >. | ph } y <-> A. x E* y ph )
11	5, 10	bitri 183	1 |- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> A. x E* y ph )

Syntax hints:   <-> wb 104   A.wal 1329   e. wcel 1480   E*wmo 1998   <.cop 3525   class class class wbr 3924   {copab 3983   Rel wrel 4539   Fun wfun 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-fun 5120

This theorem is referenced by:  funopabeq  5154  isarep2  5205  fnopabg  5241  fvopab3ig  5488  opabex  5637  funoprabg  5863