ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvpr1 Unicode version

Theorem fvpr1 5397
Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fvpr1.1  |-  A  e. 
_V
fvpr1.2  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fvpr1  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A )  =  C )

Proof of Theorem fvpr1
StepHypRef Expression
1 df-pr 3413 . . . 4  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
21fveq1i 5210 . . 3  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } `
 A )  =  ( ( { <. A ,  C >. }  u.  {
<. B ,  D >. } ) `  A )
3 necom 2330 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
4 fvpr1.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
5 fvunsng 5389 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  =/=  A )  -> 
( ( { <. A ,  C >. }  u.  {
<. B ,  D >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  C >. } `  A ) )
64, 5mpan 415 . . . 4  |-  ( B  =/=  A  ->  (
( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  C >. } `  A ) )
73, 6sylbi 119 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  (
( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  C >. } `  A ) )
82, 7syl5eq 2126 . 2  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A )  =  ( { <. A ,  C >. } `  A ) )
9 fvpr1.2 . . 3  |-  C  e. 
_V
104, 9fvsn 5390 . 2  |-  ( {
<. A ,  C >. } `
 A )  =  C
118, 10syl6eq 2130 1  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2246   _Vcvv 2602    u. cun 2972   {csn 3406   {cpr 3407   <.cop 3409   ` cfv 4932
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-res 4383  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940
This theorem is referenced by:  fvpr2  5398
  Copyright terms: Public domain W3C validator