Theorem fvpr1g 5619

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr1g	|- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Proof of Theorem fvpr1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3529	. . . . 5 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	fveq1i 5415	. . . 4 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A )
3		necom 2390	. . . . 5 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4		fvunsng 5607	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B =/= A ) -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
5	3, 4	sylan2b 285	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A =/= B ) -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
6	2, 5	syl5eq 2182	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
7	6	3adant2 1000	. 2 |- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
8		fvsng 5609	. . 3 |- ( ( A e. V /\ C e. W ) -> ( { <. A , C >. } ` A ) = C )
9	8	3adant3 1001	. 2 |- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. } ` A ) = C )
10	7, 9	eqtrd 2170	1 |- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2306   u. cun 3064   {csn 3522   {cpr 3523   <.cop 3525   ` cfv 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-res 4546  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126

This theorem is referenced by:  fvtp1g  5621