Theorem fvres 5445

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	|- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

Proof of Theorem fvres

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2689	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	brres 4825	. . . 4 |- ( A ( F |` B ) x <-> ( A F x /\ A e. B ) )
3	2	rbaib 906	. . 3 |- ( A e. B -> ( A ( F |` B ) x <-> A F x ) )
4	3	iotabidv 5109	. 2 |- ( A e. B -> ( iota x A ( F |` B ) x ) = ( iota x A F x ) )
5		df-fv 5131	. 2 |- ( ( F |` B ) ` A ) = ( iota x A ( F |` B ) x )
6		df-fv 5131	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota x A F x )
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2197	1 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   |` cres 4541   iotacio 5086   ` cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-res 4551  df-iota 5088  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  fvresd  5446  funssfv  5447  feqresmpt  5475  fvreseq  5524  respreima  5548  ffvresb  5583  fnressn  5606  fressnfv  5607  fvresi  5613  fvunsng  5614  fvsnun1  5617  fvsnun2  5618  fsnunfv  5621  funfvima  5649  isoresbr  5710  isores3  5716  isoini2  5720  ovres  5910  ofres  5996  offres  6033  fo1stresm  6059  fo2ndresm  6060  fo2ndf  6124  f1o2ndf1  6125  smores  6189  smores2  6191  tfrlem1  6205  rdgival  6279  frec0g  6294  freccllem  6299  frecsuclem  6303  frecrdg  6305  resixp  6627  djulclr  6934  djurclr  6935  djur  6954  updjudhcoinlf  6965  updjudhcoinrg  6966  updjud  6967  finomni  7012  exmidfodomrlemrALT  7059  addpiord  7124  mulpiord  7125  suplocexprlemell  7521  fseq1p1m1  9874  seq3feq2  10243  seq3coll  10585  shftidt  10605  climres  11072  fisumss  11161  isumclim3  11192  fsum2dlemstep  11203  reeff1  11407  eucalgcvga  11739  eucalg  11740  strslfv2d  12001  setsslid  12009  setsslnid  12010  cnptopresti  12407  cnptoprest  12408  lmres  12417  tx1cn  12438  tx2cn  12439  cnmpt1st  12457  cnmpt2nd  12458  remetdval  12708  rescncf  12737  limcdifap  12800  limcresi  12804  djucllem  13007  isomninnlem  13225