ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvtp2g Unicode version

Theorem fvtp2g 5422
Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fvtp2g  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  E  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. } `  B
)  =  E )

Proof of Theorem fvtp2g
StepHypRef Expression
1 tprot 3503 . . 3  |-  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. }  =  { <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. ,  <. A ,  D >. }
21fveq1i 5230 . 2  |-  ( {
<. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. , 
<. C ,  F >. } `
 B )  =  ( { <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. ,  <. A ,  D >. } `  B
)
3 necom 2333 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
4 fvtp1g 5421 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  E  e.  W
)  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/= 
A ) )  -> 
( { <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. ,  <. A ,  D >. } `  B
)  =  E )
54expcom 114 . . . . 5  |-  ( ( B  =/=  C  /\  B  =/=  A )  -> 
( ( B  e.  V  /\  E  e.  W )  ->  ( { <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. ,  <. A ,  D >. } `  B )  =  E ) )
65ancoms 264 . . . 4  |-  ( ( B  =/=  A  /\  B  =/=  C )  -> 
( ( B  e.  V  /\  E  e.  W )  ->  ( { <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. ,  <. A ,  D >. } `  B )  =  E ) )
73, 6sylanb 278 . . 3  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  -> 
( ( B  e.  V  /\  E  e.  W )  ->  ( { <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. ,  <. A ,  D >. } `  B )  =  E ) )
87impcom 123 . 2  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  E  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( { <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. ,  <. A ,  D >. } `  B
)  =  E )
92, 8syl5eq 2127 1  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  E  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. } `  B
)  =  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2249   {ctp 3418   <.cop 3419   ` cfv 4952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-tp 3424  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-res 4403  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960
This theorem is referenced by:  fvtp3g  5423
  Copyright terms: Public domain W3C validator