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Theorem fzass4 9842
Description: Two ways to express a nondecreasing sequence of four integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzass4 |- ( ( B e. ( A ... D ) /\ C e. ( B ... D ) ) <-> ( B e. ( A ... C ) /\ C e. ( A ... D ) ) )
Proof of Theorem fzass4
StepHypRef Expression
1 simpll 518 . . . . 5 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> B e. ( ZZ>= ` A ) )
2 simprl 520 . . . . 5 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
31, 2jca 304 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) )
4 uztrn 9342 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> C e. ( ZZ>= ` A ) )
54ancoms 266 . . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) -> C e. ( ZZ>= ` A ) )
65ad2ant2r 500 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> C e. ( ZZ>= ` A ) )
7 simprr 521 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> D e. ( ZZ>= ` C ) )
83, 6, 7jca32 308 . . 3 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
9 simpll 518 . . . . 5 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> B e. ( ZZ>= ` A ) )
10 uztrn 9342 . . . . . . 7 |- ( ( D e. ( ZZ>= ` C ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) -> D e. ( ZZ>= ` B ) )
1110ancoms 266 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) -> D e. ( ZZ>= ` B ) )
1211ad2ant2l 499 . . . . 5 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> D e. ( ZZ>= ` B ) )
139, 12jca 304 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) )
14 simplr 519 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
15 simprr 521 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> D e. ( ZZ>= ` C ) )
1613, 14, 15jca32 308 . . 3 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
178, 16impbii 125 . 2 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) <-> ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
18 elfzuzb 9800 . . 3 |- ( B e. ( A ... D ) <-> ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) )
19 elfzuzb 9800 . . 3 |- ( C e. ( B ... D ) <-> ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) )
2018, 19anbi12i 455 . 2 |- ( ( B e. ( A ... D ) /\ C e. ( B ... D ) ) <-> ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
21 elfzuzb 9800 . . 3 |- ( B e. ( A ... C ) <-> ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) )
22 elfzuzb 9800 . . 3 |- ( C e. ( A ... D ) <-> ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) )
2321, 22anbi12i 455 . 2 |- ( ( B e. ( A ... C ) /\ C e. ( A ... D ) ) <-> ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
2417, 20, 233bitr4i 211 1 |- ( ( B e. ( A ... D ) /\ C e. ( B ... D ) ) <-> ( B e. ( A ... C ) /\ C e. ( A ... D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-pre-ltwlin 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-neg 7936  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791
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