Theorem fzf 9787

Description: Establish the domain and codomain of the finite integer sequence function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fzf	|- ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ

Proof of Theorem fzf

Dummy variables k m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3177	. . . 4 |- { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } C_ ZZ
2		zex 9056	. . . . 5 |- ZZ e. _V
3	2	elpw2 4077	. . . 4 |- ( { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } e. ~P ZZ <-> { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } C_ ZZ )
4	1, 3	mpbir 145	. . 3 |- { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } e. ~P ZZ
5	4	rgen2w 2486	. 2 |- A. m e. ZZ A. n e. ZZ { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } e. ~P ZZ
6		df-fz 9784	. . 3 |- ... = ( m e. ZZ , n e. ZZ |-> { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } )
7	6	fmpo 6092	. 2 |- ( A. m e. ZZ A. n e. ZZ { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } e. ~P ZZ <-> ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ )
8	5, 7	mpbi 144	1 |- ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ

Syntax hints:   /\ wa 103   e. wcel 1480   A.wral 2414   {crab 2418   C_ wss 3066   ~Pcpw 3505   class class class wbr 3924   X. cxp 4532   -->wf 5114   <_ cle 7794   ZZcz 9047   ...cfz 9783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-neg 7929  df-z 9048  df-fz 9784

This theorem is referenced by:  fzen  9816  fzof  9914  fzoval  9918