ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzfig Unicode version

Theorem fzfig 9512
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzfig  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )

Proof of Theorem fzfig
StepHypRef Expression
1 eluz 8713 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
2 eqid 2082 . . . . . . 7  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )
32frechashgf1o 9510 . . . . . 6  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) : om -1-1-onto-> NN0
4 peano2uz 8752 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5 uznn0sub 8731 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
64, 5syl 14 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
7 f1ocnvdm 5452 . . . . . 6  |-  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) `
 ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e. 
om )
83, 6, 7sylancr 405 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  (
( N  +  1 )  -  M ) )  e.  om )
9 nnfi 6407 . . . . 5  |-  ( ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  (
( N  +  1 )  -  M ) )  e.  om  ->  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  (
( N  +  1 )  -  M ) )  e.  Fin )
108, 9syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  (
( N  +  1 )  -  M ) )  e.  Fin )
112frecfzen2 9509 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  ~~  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  (
( N  +  1 )  -  M ) ) )
12 enfii 6409 . . . 4  |-  ( ( ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) `
 ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e. 
Fin  /\  ( M ... N )  ~~  ( `'frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  (
( N  +  1 )  -  M ) ) )  ->  ( M ... N )  e. 
Fin )
1310, 11, 12syl2anc 403 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
141, 13syl6bir 162 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
)
15 zltnle 8478 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
1615ancoms 264 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
17 fzn 9137 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
1816, 17bitr3d 188 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  M  <_  N 
<->  ( M ... N
)  =  (/) ) )
19 0fin 6418 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
20 eleq1 2142 . . . 4  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( ( M ... N )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
2119, 20mpbiri 166 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( M ... N )  e. 
Fin )
2218, 21syl6bi 161 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  M  <_  N  ->  ( M ... N )  e.  Fin ) )
23 zdcle 8505 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  M  <_  N )
24 df-dc 777 . . 3  |-  (DECID  M  <_  N 
<->  ( M  <_  N  \/  -.  M  <_  N
) )
2523, 24sylib 120 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  \/  -.  M  <_  N
) )
2614, 22, 25mpjaod 671 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 776    = wceq 1285    e. wcel 1434   (/)c0 3258   class class class wbr 3793    |-> cmpt 3847   omcom 4339   `'ccnv 4370   -1-1-onto->wf1o 4931   ` cfv 4932  (class class class)co 5543  freccfrec 6039    ~~ cen 6285   Fincfn 6287   0cc0 7043   1c1 7044    + caddc 7046    < clt 7215    <_ cle 7216    - cmin 7346   NN0cn0 8355   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700   ...cfz 9105
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-1o 6065  df-er 6172  df-en 6288  df-fin 6290  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-fz 9106
This theorem is referenced by:  fzfigd  9513  fzofig  9514  isfinite4im  9817
  Copyright terms: Public domain W3C validator