Theorem fzfig 10203

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzfig	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzfig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz 9339	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )
2		eqid 2139	. . . . . . 7 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
3	2	frechashgf1o 10201	. . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> NN0
4		peano2uz 9378	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5		uznn0sub 9357	. . . . . . 7 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N + 1 ) - M ) e. NN0 )
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N + 1 ) - M ) e. NN0 )
7		f1ocnvdm 5682	. . . . . 6 |- ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( ( N + 1 ) - M ) e. NN0 ) -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. om )
8	3, 6, 7	sylancr 410	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. om )
9		nnfi 6766	. . . . 5 |- ( ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. om -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. Fin )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. Fin )
11	2	frecfzen2 10200	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) ~~ ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) )
12		enfii 6768	. . . 4 |- ( ( ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. Fin /\ ( M ... N ) ~~ ( `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) ) -> ( M ... N ) e. Fin )
13	10, 11, 12	syl2anc 408	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) e. Fin )
14	1, 13	syl6bir 163	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> ( M ... N ) e. Fin ) )
15		zltnle 9100	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
16	15	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
17		fzn 9822	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
18	16, 17	bitr3d 189	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M <_ N <-> ( M ... N ) = (/) ) )
19		0fin 6778	. . . 4 |- (/) e. Fin
20		eleq1 2202	. . . 4 |- ( ( M ... N ) = (/) -> ( ( M ... N ) e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
21	19, 20	mpbiri 167	. . 3 |- ( ( M ... N ) = (/) -> ( M ... N ) e. Fin )
22	18, 21	syl6bi 162	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M <_ N -> ( M ... N ) e. Fin ) )
23		zdcle 9127	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ N )
24		df-dc 820	. . 3 |- (DECID M <_ N <-> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
25	23, 24	sylib 121	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
26	14, 22, 25	mpjaod 707	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   (/)c0 3363   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   omcom 4504   `'ccnv 4538   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774  freccfrec 6287   ~~ cen 6632   Fincfn 6634   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791

This theorem is referenced by:  fzfigd  10204  fzofig  10205  isfinite4im  10539  phibnd  11893