Theorem fzind2 10009

Description: Induction on the integers from M to N inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. Version of fzind 9159 using integer range definitions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzind2.1	|- ( x = M -> ( ph <-> ps ) )
fzind2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
fzind2.3	|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
fzind2.4	|- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
fzind2.5	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ps )
fzind2.6	|- ( y e. ( M..^ N ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
fzind2	|- ( K e. ( M ... N ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, K   x, M, y   x, N, y   ch, x   ph, y   ps, x   ta, x   th, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   K( y)

Proof of Theorem fzind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 9790	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
2		anass 398	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) )
3		df-3an 964	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) )
4	3	anbi1i 453	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
5		3anass 966	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
6	5	anbi2i 452	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) )
7	2, 4, 6	3bitr4i 211	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8	1, 7	bitri 183	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9		fzind2.1	. . 3 |- ( x = M -> ( ph <-> ps ) )
10		fzind2.2	. . 3 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
11		fzind2.3	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
12		fzind2.4	. . 3 |- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
13		eluz2 9325	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
14		fzind2.5	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ps )
15	13, 14	sylbir 134	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps )
16		3anass 966	. . . 4 |- ( ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) <-> ( y e. ZZ /\ ( M <_ y /\ y < N ) ) )
17		elfzo 9919	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( y e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ y /\ y < N ) ) )
18		fzind2.6	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( ch -> th ) )
19	17, 18	syl6bir 163	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ y /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) )
20	19	3coml 1188	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( M <_ y /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) )
21	20	3expa 1181	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ y e. ZZ ) -> ( ( M <_ y /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) )
22	21	impr 376	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ ( M <_ y /\ y < N ) ) ) -> ( ch -> th ) )
23	16, 22	sylan2b 285	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
24	9, 10, 11, 12, 15, 23	fzind 9159	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )
25	8, 24	sylbi 120	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   1c1 7614   + caddc 7616   < clt 7793   <_ cle 7794   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   ...cfz 9783  ..^cfzo 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-fzo 9913

This theorem is referenced by:  exfzdc  10010  seq3clss  10233  seq3caopr3  10247  seq3f1olemp  10268  seq3id3  10273  ser3ge0  10283  prodfap0  11307  prodfrecap  11308