Theorem fznlem 9814

Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fznlem	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M -> ( M ... N ) = (/) ) )

Proof of Theorem fznlem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9051	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2		zre 9051	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
3		lenlt 7833	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
5	4	biimpd 143	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> -. N < M ) )
6	5	con2d 613	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M -> -. M <_ N ) )
7	6	imp 123	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> -. M <_ N )
8	7	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> -. M <_ N )
9		simplll 522	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> M e. ZZ )
10	9	zred 9166	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> M e. RR )
11		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
12	11	zred 9166	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> k e. RR )
13		simpllr 523	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> N e. ZZ )
14	13	zred 9166	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> N e. RR )
15		letr 7840	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> M <_ N ) )
16	10, 12, 14, 15	syl3anc 1216	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> M <_ N ) )
17	8, 16	mtod 652	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> -. ( M <_ k /\ k <_ N ) )
18	17	ralrimiva 2503	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> A. k e. ZZ -. ( M <_ k /\ k <_ N ) )
19		rabeq0 3387	. . . 4 |- ( { k e. ZZ | ( M <_ k /\ k <_ N ) } = (/) <-> A. k e. ZZ -. ( M <_ k /\ k <_ N ) )
20	18, 19	sylibr 133	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> { k e. ZZ | ( M <_ k /\ k <_ N ) } = (/) )
21		fzval 9785	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = { k e. ZZ | ( M <_ k /\ k <_ N ) } )
22	21	eqeq1d 2146	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M ... N ) = (/) <-> { k e. ZZ | ( M <_ k /\ k <_ N ) } = (/) ) )
23	22	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> ( ( M ... N ) = (/) <-> { k e. ZZ | ( M <_ k /\ k <_ N ) } = (/) ) )
24	20, 23	mpbird 166	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> ( M ... N ) = (/) )
25	24	ex 114	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M -> ( M ... N ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   {crab 2418   (/)c0 3358   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612   < clt 7793   <_ cle 7794   ZZcz 9047   ...cfz 9783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltwlin 7726

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-neg 7929  df-z 9048  df-fz 9784

This theorem is referenced by:  fzn  9815