ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo0to3tp Unicode version

Theorem fzo0to3tp 9964
Description: A half-open integer range from 0 to 3 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzo0to3tp  |-  ( 0..^ 3 )  =  {
0 ,  1 ,  2 }

Proof of Theorem fzo0to3tp
StepHypRef Expression
1 3z 9051 . . 3  |-  3  e.  ZZ
2 fzoval 9893 . . 3  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
0..^ 3 )  =  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( 0..^ 3 )  =  ( 0 ... ( 3  -  1 ) )
4 3m1e2 8808 . . . 4  |-  ( 3  -  1 )  =  2
5 2cn 8759 . . . . 5  |-  2  e.  CC
65addid2i 7873 . . . 4  |-  ( 0  +  2 )  =  2
74, 6eqtr4i 2141 . . 3  |-  ( 3  -  1 )  =  ( 0  +  2 )
87oveq2i 5753 . 2  |-  ( 0 ... ( 3  -  1 ) )  =  ( 0 ... (
0  +  2 ) )
9 0z 9033 . . 3  |-  0  e.  ZZ
10 fztp 9826 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) } )
11 eqidd 2118 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  =  0 )
12 0p1e1 8802 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1312a1i 9 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
146a1i 9 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
1511, 13, 14tpeq123d 3585 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1610, 15eqtrd 2150 . . 3  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
179, 16ax-mp 5 . 2  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
183, 8, 173eqtri 2142 1  |-  ( 0..^ 3 )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1316    e. wcel 1465   {ctp 3499  (class class class)co 5742   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    - cmin 7901   2c2 8739   3c3 8740   ZZcz 9022   ...cfz 9758  ..^cfzo 9887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-tp 3505  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759  df-fzo 9888
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator