ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo1fzo0n0 Unicode version

Theorem fzo1fzo0n0 9141
Description: An integer between 1 and an upper bound of a half-open integer range is not 0 and between 0 and the upper bound of the half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzo1fzo0n0  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  <->  ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  K  =/=  0
) )

Proof of Theorem fzo1fzo0n0
StepHypRef Expression
1 elfzo2 9109 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )
2 elnnuz 8605 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  <->  K  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3 nnnn0 8246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
43adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  NN0 )
54adantr 265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  N
)  ->  K  e.  NN0 )
6 nngt0 8015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  0  <  K )
7 0red 7086 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
8 nnre 7997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
98adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  K  e.  RR )
10 zre 8306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
1110adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
12 lttr 7151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <  K  /\  K  <  N )  ->  0  <  N
) )
137, 9, 11, 12syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( 0  < 
K  /\  K  <  N )  ->  0  <  N ) )
14 elnnz 8312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
1514simplbi2 371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  <  N  ->  N  e.  NN ) )
1615adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( 0  <  N  ->  N  e.  NN ) )
1713, 16syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( 0  < 
K  /\  K  <  N )  ->  N  e.  NN ) )
1817exp4b 353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN  ->  ( 0  <  K  -> 
( K  <  N  ->  N  e.  NN ) ) ) )
1918com13 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <  K  ->  ( K  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  <  N  ->  N  e.  NN )
) ) )
206, 19mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  <  N  ->  N  e.  NN )
) )
2120imp31 247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  N
)  ->  N  e.  NN )
22 simpr 107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  N
)  ->  K  <  N )
235, 21, 223jca 1095 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  N
)  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
2423exp31 350 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  <  N  -> 
( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N ) ) ) )
252, 24sylbir 129 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  <  N  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) ) ) )
26253imp 1109 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
27 elfzo0 9140 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  <->  ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N
) )
2826, 27sylibr 141 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N )  ->  K  e.  ( 0..^ N ) )
29 nnne0 8018 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN  ->  K  =/=  0 )
302, 29sylbir 129 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  K  =/=  0 )
31303ad2ant1 936 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N )  ->  K  =/=  0 )
3228, 31jca 294 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N )  ->  ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  K  =/=  0 ) )
331, 32sylbi 118 . 2  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  ->  ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  K  =/=  0
) )
34 elnnne0 8253 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  NN0  /\  K  =/=  0 ) )
35 nnge1 8013 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN  ->  1  <_  K )
3634, 35sylbir 129 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  =/=  0 )  -> 
1  <_  K )
37363ad2antl1 1077 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  /\  K  =/=  0 )  -> 
1  <_  K )
38 simpl3 920 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  /\  K  =/=  0 )  ->  K  <  N )
39 nn0z 8322 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
4039adantr 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  ZZ )
41 1zzd 8329 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
42 nnz 8321 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
4342adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
4440, 41, 433jca 1095 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
45443adant3 935 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
4645adantr 265 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  /\  K  =/=  0 )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
47 elfzo 9108 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1..^ N )  <->  ( 1  <_  K  /\  K  <  N ) ) )
4846, 47syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  /\  K  =/=  0 )  -> 
( K  e.  ( 1..^ N )  <->  ( 1  <_  K  /\  K  <  N ) ) )
4937, 38, 48mpbir2and 862 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  /\  K  =/=  0 )  ->  K  e.  ( 1..^ N ) )
5027, 49sylanb 272 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  K  =/=  0 )  ->  K  e.  ( 1..^ N ) )
5133, 50impbii 121 1  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  <->  ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  K  =/=  0
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    e. wcel 1409    =/= wne 2220   class class class wbr 3792   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   RRcr 6946   0cc0 6947   1c1 6948    < clt 7119    <_ cle 7120   NNcn 7990   NN0cn0 8239   ZZcz 8302   ZZ>=cuz 8569  ..^cfzo 9101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-fz 8977  df-fzo 9102
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator