ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzomaxdiflem Unicode version

Theorem fzomaxdiflem 10125
Description: Lemma for fzomaxdif 10126. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzomaxdiflem  |-  ( ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( abs `  ( B  -  A )
)  e.  ( 0..^ ( D  -  C
) ) )

Proof of Theorem fzomaxdiflem
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 9223 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( C..^ D
)  ->  B  e.  ZZ )
21adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  B  e.  ZZ )
3 elfzoelz 9223 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( C..^ D
)  ->  A  e.  ZZ )
43adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  A  e.  ZZ )
52, 4zsubcld 8544 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( B  -  A )  e.  ZZ )
65zred 8539 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
76adantr 270 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( B  -  A
)  e.  RR )
82zred 8539 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  B  e.  RR )
94zred 8539 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  A  e.  RR )
108, 9subge0d 7691 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( 0  <_  ( B  -  A )  <->  A  <_  B ) )
1110biimpar 291 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  /\  A  <_  B )  -> 
0  <_  ( B  -  A ) )
12 absid 10084 . . 3  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( B  -  A ) )  -> 
( abs `  ( B  -  A )
)  =  ( B  -  A ) )
137, 11, 12syl2anc 403 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( abs `  ( B  -  A )
)  =  ( B  -  A ) )
14 elfzoel1 9221 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( C..^ D
)  ->  C  e.  ZZ )
1514adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  C  e.  ZZ )
1615zred 8539 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  C  e.  RR )
178, 16resubcld 7541 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( B  -  C )  e.  RR )
18 elfzoel2 9222 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( C..^ D
)  ->  D  e.  ZZ )
1918adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  D  e.  ZZ )
2019, 15zsubcld 8544 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( D  -  C )  e.  ZZ )
2120zred 8539 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( D  -  C )  e.  RR )
22 elfzole1 9230 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( C..^ D
)  ->  C  <_  A )
2322adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  C  <_  A )
2416, 9, 8, 23lesub2dd 7718 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( B  -  A )  <_  ( B  -  C )
)
2519zred 8539 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  D  e.  RR )
26 elfzolt2 9231 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( C..^ D
)  ->  B  <  D )
2726adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  B  <  D )
288, 25, 16, 27ltsub1dd 7713 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( B  -  C )  <  ( D  -  C )
)
296, 17, 21, 24, 28lelttrd 7290 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( B  -  A )  <  ( D  -  C )
)
3029adantr 270 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( B  -  A
)  <  ( D  -  C ) )
31 0zd 8433 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  0  e.  ZZ )
32 elfzo 9225 . . . . 5  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  ( D  -  C )  e.  ZZ )  ->  (
( B  -  A
)  e.  ( 0..^ ( D  -  C
) )  <->  ( 0  <_  ( B  -  A )  /\  ( B  -  A )  <  ( D  -  C
) ) ) )
335, 31, 20, 32syl3anc 1170 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  ->  ( ( B  -  A )  e.  ( 0..^ ( D  -  C ) )  <-> 
( 0  <_  ( B  -  A )  /\  ( B  -  A
)  <  ( D  -  C ) ) ) )
3433adantr 270 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( ( B  -  A )  e.  ( 0..^ ( D  -  C ) )  <->  ( 0  <_  ( B  -  A )  /\  ( B  -  A )  <  ( D  -  C
) ) ) )
3511, 30, 34mpbir2and 886 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( B  -  A
)  e.  ( 0..^ ( D  -  C
) ) )
3613, 35eqeltrd 2156 1  |-  ( ( ( A  e.  ( C..^ D )  /\  B  e.  ( C..^ D ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( abs `  ( B  -  A )
)  e.  ( 0..^ ( D  -  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3787   ` cfv 4926  (class class class)co 5537   RRcr 7031   0cc0 7032    < clt 7204    <_ cle 7205    - cmin 7335   ZZcz 8421  ..^cfzo 9218   abscabs 10010
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-if 3354  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-ilim 4126  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-frec 6034  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-2 8154  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-fz 9095  df-fzo 9219  df-iseq 9511  df-iexp 9562  df-cj 9856  df-re 9857  df-im 9858  df-rsqrt 10011  df-abs 10012
This theorem is referenced by:  fzomaxdif  10126
  Copyright terms: Public domain W3C validator