ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzoshftral Unicode version

Theorem fzoshftral 9983
Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a half-open integer range, analogous to fzshftral 9856. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzoshftral  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M..^ N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K )..^ ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
Distinct variable groups:    j, K, k   
j, M, k    j, N, k    ph, k
Allowed substitution hint:    ph( j)

Proof of Theorem fzoshftral
StepHypRef Expression
1 fzoval 9893 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
213ad2ant2 988 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
32raleqdv 2609 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M..^ N ) ph  <->  A. j  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ph ) )
4 peano2zm 9060 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5 fzshftral 9856 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... (
( N  -  1 )  +  K ) ) [. ( k  -  K )  / 
j ]. ph ) )
64, 5syl3an2 1235 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( ( N  -  1 )  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
7 zaddcl 9062 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K
)  e.  ZZ )
873adant1 984 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ZZ )
9 fzoval 9893 . . . . 5  |-  ( ( N  +  K )  e.  ZZ  ->  (
( M  +  K
)..^ ( N  +  K ) )  =  ( ( M  +  K ) ... (
( N  +  K
)  -  1 ) ) )
108, 9syl 14 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
)..^ ( N  +  K ) )  =  ( ( M  +  K ) ... (
( N  +  K
)  -  1 ) ) )
11 zcn 9027 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
1211adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
13 zcn 9027 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
1413adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  CC )
15 1cnd 7750 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
1612, 14, 15addsubd 8062 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  K )  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  +  K ) )
17163adant1 984 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( N  +  K
)  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  +  K ) )
1817oveq2d 5758 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
) ... ( ( N  +  K )  - 
1 ) )  =  ( ( M  +  K ) ... (
( N  -  1 )  +  K ) ) )
1910, 18eqtr2d 2151 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
) ... ( ( N  -  1 )  +  K ) )  =  ( ( M  +  K )..^ ( N  +  K ) ) )
2019raleqdv 2609 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( M  +  K
) ... ( ( N  -  1 )  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K )..^ ( N  +  K
) ) [. (
k  -  K )  /  j ]. ph )
)
213, 6, 203bitrd 213 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M..^ N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K )..^ ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   [.wsbc 2882  (class class class)co 5742   CCcc 7586   1c1 7589    + caddc 7591    - cmin 7901   ZZcz 9022   ...cfz 9758  ..^cfzo 9887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759  df-fzo 9888
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator